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Ainsi, lorsque f(x + /i) et f ( x — h), seront en même temps plus petits que fx , il y aura un maximum , et si ces deux fonction? sont en même temps plus grandes qu efx, il ÿ aura un minimum; enBn,si l’une de ces fonctions est plus grande et l’autre moindre que fx , il n’y aura ni maximum

ni minimum.

t)5 . Cherchons donc dans quels cas ces conditions peuvent être remplies : pour cet effet, nous avons, par le théorème de Taylor,

/c* + h) = jm- g* + + etc - W8 >-

D’une autre part , si dans cette formule on change h en — h , on trouve

xr dy , . dy 7i* d 3 V P . .

f ( x — h) ~y — + j - — * -f- etc. (4a).

.. dx dx“ i.a dx J a.3 .

DES MAXIMA et MmiMA. 5<|

Pour que y —fx soit un maximum ou un minimum , il faut doue que ces deux développemens soient tous deux plus grands oti tous deux moindres que .y ; or, cela ne peut être,

à moins que ^ ne soif nul. En effet, si l’on donne une valeur très petite à h , on pourra toujours faire en sorte que ^■h surpasse la somme algébrique de tous les termes qui lq

suivent. Dans ce cas, le signé qui affectera sera lemême

<jue celui de ê , joint aux termes qui le suivent : ainsi ,

dy •

dans cette hypothèse, si est positif dans l’un des

développemens (48) et (4g) , ce développement sera plus

dv ' .

grand que y , et sera moindre que y , si est néga-

dy . ' ,

tif. Le signe qui affecte -p h étant contraire dans ces déve-

loppemens, il faut que si ~h est positif dans l’un, il soit

négatif dans l’autre ; d’où il suit que l’une des quantités f (x -f- h) et f (x — h) , sera plus grande qu efx, et que. l’autre sera moindre qu efx. •

dv , . \

Si j- // n’est pas nul , il ne pourra donc y avoir de maximum ni de minimum ; mais si ^ = o, alors les développemens ( 48 ) et (4g) se réduisent à

r, d a yh* d 3 y h 3

fX x + h)=y + ^-+^ r3 +e te.,

r, , . d’yfi* d 3 y 1' .

/(x-A)=j + a ^-- a J r3 + etc.

6o ! CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Dans ce cas , le signe des termes qui suivent y dépendra

on prend h assez petit pour que ce termesurpasse la somme de tous ceux qui le suivent ; et comme a le même signe dans les deux développemens, il en ré-

eultera que si est positif, les deux fonctions de (x -f - A )

et de (x — h) seront plus grandes qu efx± dans ce cas , fx

sera un minimum. De même, si -r-*^ est négatif, on voit que

OJÇ

fx sera un maximum.