PROBLÈME II

toi. Entre tous les cylindres inscrits dans un cône droit,

déterminer celui qui a le plus grand volume.

Soit a, fig. 1 4', la hauteur SC du cône, b le tayon ÀC üé

APPLICAJ. DE LA THÉOR. DES MAXIMA ET MIKIMA. 63 sa base , et x la distance SD dn sommet au centre du cercle supérieur du cylindre.

Les triangles semblables SAC , SED nous donneront sc: AC :: SD : ED,

ou

donc

a : b.:: x : ed,

ed=Æ.

r Soit t ; *• le rapport du diamètre à la circonférencé ; on

sait que le cercle , dont le rayon est r , a pour surface «-r*.

bx .

Donc le cercle EGF , qui a — pour rayon , a pour surface

x J ; multipliant Cette surface par la hauteur DC du cylindre , c’est-à-dire par a — x , nous aurons x* (a — x )

pour Je volume du cylindre ; ainsi l’équation à différencier est

on déduit de cette équation

% = ~ (sax- 3x*) etg = ^- (aa — Sx);

dy

égalant à zéro la valeur de on a vtb 11

(a ax — ■ 3x a ) = o , ou plutôt aax • — 3x* = o }

équation qui est le produit des facteurs x et aa 3x , et

donne par conséquent x = o , ou x = la valeur x = o ne peut correspondre à un maximum , puisque , dam celte

€4 calcul Différentiel.

hypothèse se réduit à ~~ > nombre positif. Cette'valeur

cylindre se réduit à l’axe du cône (car plus le cylindre est haut plus il est mince).

La valeur x = ^ est donc la seule qui puisse répondre à la question; et danscette hypothèse, réduit à —

nombre négatif. Si l’on retranche donc SDr=x= ^ SC delà

hauteur dû cylindre , il restera CD = 4 SC. Il résulte de ce

qui précède , que le cylindre le plus volumineux inscrit au cône, a pour hauteur le tiers de celle du cône.