PROBLÈME IV

jo 4. On veut faire entrer dans un vase cylindrique une certaine quantité d'eau dont le' volume èst connu ; on de* mande quelles dimensions il faut donner à ce vase pour que sa surface interne soit aussi petite qu'il est possible.

Soit Y le volume d’èau donné, et x le rayon de la base du cylindre; arx a sera l’aire de la base du Cylindre. Et puisque la hauteur de ce cylindre, multipliée par sa base, est égale à son volume, on aura

hauteur du cylindre X <rx* — V, d'où l’on tirera

hauteur du cylindre = — - ;

66 calcul différentiel;

en multipliant cette hauteur par la circonférence de la base qui est awx , on aura

V qY

— - x üxx = -■

pour la surface convexe du cylindre. Si à cette surface on ajoute 7rx a , qui est celle de la base du cylindre, l’équation à différencier sera

aV

et l’on en déduira

* + 2srr ÏL — iX+a,,

dx “ x» + ' dx“ x 3 +a ’ r *

dy / r

La valeur de -j- étant égalée à zéro donne * dx

On voit que cette valeur répond à un minimum , puisqu’elle d a y

rend positive celle de : le rayon de la base du cylindre

cherché sera donc

Si l’on met cette valeur dans l’ex-

pression de la hauteur, on trouvera, pour la hauteur du cylindre.

Ce problème est applii ablc h l'Artillerie; car une charge de pnuilre étant donnée, on peut se proposer de trouver quelles dimensions devrait avoir un mortier à chambre cylindrique, pour que la poudre txercdt le plus petit effort contre les parois de la chambre.

On voit que cette question se réduit il trouver quelle est la plus petite

APPLICAT, DÉ LA THÉOR. DES M.ÎXIMA ET MlNlMAi Gj

Aurface qu’on puisse donner h la chambre du morlicr ; et il suit de ce qui précède, que le rayon de la chambre doit être égal à sa bauteur.