On a vu , art. 71, que représentait la tangente tri

gonométrique de l’angle que fait, avec l’axe des abscisses, une tangente menée au point dont les coordonnées sont x et y \ comme c’est le fondement de ce qui va suivre , on peut démontrer à priori cette proposition de la manière suivante; soient , fig. 4 > PM=j', PP' = h ; ep menant lp parallèle Fig. 4. MQ à l’axe des abscisse*, on a donc

M-Q=/ (t+4) / I = | ft + gil +etc .

Or

MQ : M'Q :: 1 : tang S s ;

et en mettant pour les expressions M'Q , MQ , leurs valeurs, .on aura

A’+etc

tang S=~ 2 * 1 * ± + etc

& h -dx + dx>t.u +etC ’

74 CA LC#L ' DIFFÉRENTIEL.

Passant à la limite, h est nul, et tangente S se change en tangente T.

Donc alors

tan & T = Ë*

Cela posé , si PM devient un maximum , la tangente TM, Ï'G- >9- Gg. 19, étant alors parallèle à l’axe des abscisses , elle fait un angle nul avec cet axe ; et comme on vient de voir que la tangente irigonométrique de l'angle formé par la tangente avec

l’axe des x était représentée par ona donc, dans ce cas.

On démontrerait de même que si PM était un minimum, la tangente irigonométrique devenant aussi nulle dans ce cas,

on devrait avoir = o.

Ainsi, cette équation 0 n’exprime autre chose que

la condition du parallélisme de la tangente en M à l’axe des abscisses.

u3. Examinons maintenant dans quelle circonstance est positif ou négatif.

Pour cet effet, considérons d'abord le cas où la courbe, J’igi ao. Gg- 20, tourne sa convexité vers l’axe des abscisses.

Soient AP, x; PM, y, PP' = P'P" = h ; et par les points M et M', menons la sécante MM'S, et les droites

MN, M'jV , parallèles à l’axe des abscisses , nous aurons.

M'O = M'P' — MP =f(x + h) —fx, c’est-à-dire

M '0=&4 + feil + el=..

tlx r dx* r.a '