En terminant cette matière , nous remarquerons que
l'équation — - — 00 nous indique que la tangente
fig. a 3 , est celle d’un angle droit, et, par conséquent, est perpendiculaire à l’axe dés x.
Considérations générales sur les points singuliers des courbes.
118. Le calcul différentiel peut être d’une grande utilité pour trouver la forme d’une courbe dont l’équation est donnée. La théorie des maxima et minima nous offre déjà les moyens de déterminer les limites dans le sens des abscisses et dans celui des ordonnées ; mais cela ne suffirait pas pouf nous faire reconnaître la forme de la courbe. Par exemple,
les courbes des figures 68 , 69 et 70 , qui ont les mêmes Fiy. 68, limites OG-et OD , dans le sens des ordonnées , et OA et OB dans celui des abscisses , ne se ressemblent pas. Ce qui distingue la courbe fig. 68 de la courbe fig. 69, c’est que, dans Fig. 6g, cette dernière, il n’y a qu’un point d'inflexion; on appelle ainsi un point où la courbe de concave devient convexe, oq de convexe devient concave. Dans la fig. 68 il y a deux points d’inflexion l’un en E , l’autre en G , et un point de rebroussement en C , c’est-à-dire un point où la courbe suspend tout d’un coup son cours.
119. En général , les points où la courbe éprouve des changemens, s’appellent des points singuliers ; on sent que si l’on a les moyens de reconnaître les endroits où ces points existent, il sera facile de suivre la courbe dans son cours. Par exemple , si l’on savait que la courbe fig. 70 a des points Fig. 70. d’inflexion qp E et en H, et des points de rebroussement
en F et en G , on pourrait prendre une idée de cette courbe par l’analyse suivante :
En partant du point qui est une limite dans le sens
des abscisses , la courbe tourne d’abord sa concavité vers l’axe des abscisses jusqu’en E , où il existe un point d’inflexion qui , de concave , la fait devenir convexe. A l’extré-J mité de la partie convexe EF, elle suspend son cours au point de rebroussement F , au-delà duquel elle est encore convexe dans la partie FH, pour redevenir concave au-delà du point d’inflexion H et arriver ainsi jusqu’au point C , qui est’une limite dans le sens des ordonnées; euEn de C en (3 et de A en G , la courbe est composée de deux arcs CBG , ADG , qui, tournant leurs concavités à l’axe des abscisses, se • réunissent en un point de rebroussement , et passent par les deux limites B et D , l’une dans le sens des abscisses et l’autre dans celui des ordonnées. > . •
120. D’après ce qui précède, on sent combien il serait avantageux de pouvoir, à l’aide de l’équation d'une courbe , déterminer les coordonnées des points singuliers ; nous avons déjà fait connaître les moyens de trouver les hraxima et les minima ; il nous reste à nous occuper de la recherche des autres points singuliers : c’est ce qui va faire le sujet dea paragraphes suivans.
Des points d inflexion.
121. Nous venons de voir qu’un point d’inflexion est celui dans lequel la courbe, de convexe devient concave ou de
fjg. çi. concave devient convexe. La courbe M'MM", Eg. 71 , nous offre en M un point de ce genre. Menons en ce point une tangente TT' ; si nous considérons les diverses ordonnée» comprises entre M'P' et MP , nous verrons que le prolongement M'N' de l’ordonnée jusqu'à la courbe, ira en diminuant, et s’anéantira au point M; si nous considérons les ordonnées suivantes , le prolongement M"N" ae l’ordonnée tombera au-dessous de la tangente, et par conséquent changera désigné, de sorte que si M'C^' était positif, M"N" sera
DE9 POINTS D’INFLEXION.' 8l
toegatif. Telle est la condition que nous allons exprimer par une équation.
Soient donc, fig. yi, PP' —h~ PP"; on a évidemment p ig .
ou
M'N^/Xx-f- A) — N'P\...(54).
Pour déterminer la valeur analytique de N'P' nous avons
* N'P' = MP -f- N'O ,
on
A l’égard de celle de N'O, le triangle rectangle N'MO nous donne
• N'O = MO tartg N'MO ; or on a vu , art. 71 , que l’angle N'MO , formé par la tangente en M, avec une parallèle à l’axe des x, avait
QX
pour tangente trigonométrique ; par conséquent remplaçant tang N'MO par ^ , et mettant h à la place de MO , nous aurons
dx 1
Substituant cette valeur dans l’équation (55), et mettant ensuite celle de N'P' dans l’équation (54), nous obtiendrons
Sans avoir besoin de calculer de nouveau la valeur M"N", on peut la déduire de celle de M'N'; en effet, si nous faisons reculer l’ordonnée parallèlement à elle- ment, M'N' deviendra M"N", lorsque h se changera en— /i Tonnant donc
CALCUL différentiel;
à h cette valeur dans l’équation (58) , nous obtiendrons
MT =f(x-h)~y + & h.... (57).
Maintenant, remplaçons les expressions/ (x-+-^) et/(r — A) par leurs développemens , -nous aurons
et en réduisant, ces équations deviendront
' M ' N '=êri+ëo+' ,c --' 58) ’
Cela posé , pour qu'il y ait inflexion en M , il faut nécessairement que , lorsqu’on donnera à h une valeur très petite , les lignes M'N' etM"N" tombent l’une au-dessus et l’autre audessous de la droite TT, ce qui exige que M'N' et M "N" soient de signes contraires ; or , cela n’est possible que lorsque le d a y h a
premier terme — -, des séries (58) et (5q) , est nul. En
effet, si ce terme n’était pas nul, on pourrait donner à h une
valeur assez petite pour que le terme — — - surpassât
la somme algébrique de tous les autres termes de la série; dans ce cas , le signe de ce terme serait celui du résultat de toute la suite; et comme ce terme est le même dans les Eig* 7 *- deux séries, il en résulterait que M'N' et M"N* (fig. 71 ) auraient nsœssairement le même signe; par conséquent, pour que TÊfF et M"N" puissent être de signes contraires #
fcES POtNfS D’iNFLEXIOKi B3
il faut que l’on ait
^ h % = : O , bu plutôt ~ = O.
dx* * r dx*
îsà. S’il arrivait que la même valeur de x, qui fait éva-
B°üir , fit aussi évanouir , il faudrait pour qu’il pût
dx * 1
. Jly
y avoir un point d’inflexion , que fut aussi nul. Dans
ce cas, si était aussi nul, il faudrait encore que -j-*^
fût uül, et ainsi de suite; de sorte que le dernier coefficient différentiel qui serait nul , devrait être d’ordre pair.
