Si la valeur x qui est la même dans les développe

mens 58 et 5g , était telle que g-— fût infini , ces deux déve-

loppemens le seraient aussi ; et alors on ne pourrait rien conclure de la démonstration précédente qui repose sur la possibilité de ces développemens ; dans ce cas, i) faut remarquer

que la condition — ° » nous indique, en général, que dy* j

jpj doit changer de signe au point d’inflexion, ce qui s’ac-

corde avec l’art. 1 i3j mais peut aussi changer de signa eu passant par l’infini. Pour en donner un exemple , soit

dx* x — a

Si l’on substitue successivement à x les valeurs

x ~ a — h , on trouvera

dx*

oo.

ff?- r “ + T*

'fcXLCUL DIFFÉRENTIEL.'

et l’on voit que c’est le dénominateur de la valeur de ,

qui fait changer de signe au coefficient différentiel après le point d’inflexion.

1 24. Il résulte de ce qui précède , que pour qu’il puisse y avoir un point d’inflexion dans une courbe , il faut qu’on ait, pour l’abscisse de ce point .

dx* dx*

Lorsqu’on se sera assuré que l’une de ces conditions est remplie , on augmentera et l’on diminuera successivement d’une quantité très petite h, l’abscisse du point qui remplit

la condition prescrite ; et si gÿ, pour ces nouvelles valeurs de x, est affecté de signes contraires, il faudra en conclure qu’il y a un point d'inflexion; car, lorsqua

es t positif, la courbe tourne sa convexité vers l'axe des

dx*

abscisses, tandis que lorsque est négatif, la courbe tourne

sa concavité vers le même axe ; or, c’est par ce changement de convexe en concave, ou de Concave en convexe, que la courbe manifeste son point d’inflexion.

iu 5 . Pour donner une application de cette théorie , cherchons s’il y a un point d’inflexion dans la courbe qui a pour équation

La différenciation nous donne

Pour qu’il puisse y avoir un point d’inflexion , il faut donc

DES POINTS d’inflexiok; 85 -

qu’il existe une valeur de x, qui rende nul le terme ;

«r, x étant une quantité variable, déterminons l'une de ses valeurs parla condition, qu’on ait ia(x — a)=o, et nous obtiendrons x=a pour l’abscisse, qui peut appartenir à un pointd’inflexioD. Pour nous assurer de l’existence de ce point, diminuons l’abscisse a d’une petite quantité k , et substituons a — hkx, nous trouverons que,, pour le point M' (fig. 7a) , dont-l’ab- Fig. 73.

scisse

est a — h, on a 1 zh ; substituons ensuite a-J-A

à x, et nous trouverons que le point M.", dont l’abscisse est d’y

c -f- ft , correspond à — 1 zh. Ces deux Valeurs de diiFé—

rens signes de , nous montrent qulil y a un point d’inflexion en M. *

L’hypothèse dé x=a fait évanouir par conséquent

la tangente au point d’inflexion est parallèle à l’axe des x. îaS. Il est à remarquer qu’on n’a pas toujours la faculté

d’égaler ainsi à zéro la valeur de ; si l’on voulait, par

exemple , chercher s’il existe des points d'inflexion dans la courbe qui a pour équation ,

y — b + ax*,

on trouverait, par la différenciation ,

= a ax dx

Or, on voit qu’on ne peut égaler à zéro la valeur de —£,

' QX

qui ne renferme aucune indéterminée , et que par conséquent la courbe ne peut avoir un point d’inflexion , résultat auquel on devait s’attendre, puisque la courbe est une parabole. La*

•valeur de g-— nous montre seulement que cette parabole

tourne continuellement sa convexité vers l'axe des ab~ scisses. • J