Pour troisième application , prenons l’équation

jy 3 =* 5 ;

en la résolvant par rapport ày, et en différenciant ensuite , on obtient

. — - -r" J ki- il — —

V J îy— * -

y X *l * * djC* 3 ,-*

Si l’on cherchait à déterminer x par l’équation

s • T "“7 — °» on plutôt — j— =o, on ne pourrait satisfaire / x ^/x *

à oette équation qu’en faisant x = 00 , ce qui ne çonduir. rait à rien; mais comme nous avons la faculté d’égaler.

aussi la valeur de à l’inEni, nous satisferons à l’équa-,

tion-^— = 00 , en faisant x=o; cette valeur de x nous,

apprend qu’il peut y avoir un point d’inflexion à l’origine; et, pour nous assurer de l’existence de ce point, nous substituerons successivement à x les valeurs x = o -f- h et x= o — h , c’est-à-dire à et — h , et nous verrons si, dans

ces deux cas, amène des résultats de signes contraires.

Mais au lieu de faire ces opérations l’une après l’autre , nous pourrons les exécuter à la fois, en substituant à x la valeur çfc h , et alors le coefficient différentiel du second ordrè deviendra

fe — »-* *L.

f - t DES POINTS D’INFLEXION. 87-

La valeur supérieure se rapporte à une abscisse plus grande que celle du point d’inflexion, et la valeur inférieure se rapporte à une abscisse moindre. Comme ces deux valeurs sont de signes- contraires , nous pouvons en conclure que x— o correspond à un point d’inflexion A (fig. j’S). Fig. ? 3 .

138. Pour dernière application, prenons la courbe qui a pour équation.

Cette équation nous donne

y~b±.x\ ^= + îi‘ + i i L.

^ ’ dx dx* *' 'V? .

en faisant x — o, on a = 00 , ce qui est un indice qu’il

peut se rencontrer un point d’inflexion à l’origine. Pour savoir si ce point existe, faisons d’abord x =h , et substi-

tuons cette valeur dans celle de ^L , qui devient

pL-sii i- 1 -/

& — * vs

Si l’on fait ensuite x — — h, la valeur de gjL devient

imaginaire, ainsi que la valeur dey, ce qui nous apprend que la courbe n’existe pas pour des abscisses négatives ; ainsi,

quoique gÿ soit inflni à l’origine , il n’y a pas de point d’inflexion. Bientôt il nous sera facile de reconnaître que l’origine A (Gg.74) appartient à une classe de points que l’on Fig. -4. a compris sous le nom de points de rebroussement ; c’est ce que nous allons examiner plus particulièrement dans le paragraphe suivant.

Des points de rebrous semeni.