Lorsqu’une courbe s’arrête dans son cours, et re
vient sur ses pas , on a un point de rebroussement; le rebroussement est de la première espèce lorsque les deux branche» Fig. se tournent leurs convexités, comme dans la £g. j4> et le rebroussement est de la seconde espèce, lorsque les concavités sont concentriques, comme dans la Gg. j5.
i3o. La courbe s’arrête ainsi, parce qu’au-delà du point C de rebroussement, les valeurs que l’on donne à l’abscisse en déterminent d’imaginaires pour l'ordonnée , ce qui supd a y
pose que renferme un radical ; et si, avant que la
courbe suspende son cours , donne deux valeurs , L’una
du signe de y et l’autre d’un signe contraire , cela annonça F'S- 74- qu’il y a deux branches de courbe réunies au point C (Gg. 74) , l’une convexe vers l’axe des abscisses , et l’autre concave. A ces caractères on peut reconnaître un point de rebroussement de la première espèce; si, au contraire, les deux
valeurs de sont de même signe , les deux branches qui
F'g' se réunissent en C (Gg. 75) , ne peuvent être que concentriques : par conséquent le rebroussement sera, dans ce cas, de la seconde espèce.
i3 ►. Pour premier exemple , examinons s’il y a des point» de rebroussement dans la courbe qui a pour équation,
Cette équation donne
y=x±.xj \/ x.... (Si).
On voit que lorsqu'on prend x négatif, y devient imagîginaire; donc la courbe s’arrête à l’origine, oui = o et y — o\ mais cela ne prouve pas encore qu’il y ait à l’origine un point de rebroussement, car il pourrait n’exister en ce point qu’un arc de courbe, toujours concave du mêmecôté, ainsi que cela a fieu au sommet de l’hyperbole ; ainsi , pour
DES POINTS DE REBROUSSEMENT. 8gf
reconnaître si la valeur de x = o correspond à un point de rebroussement , il faut savoir ce que devient , près de l’origine, le coefficient différentiel du second ordre ; or, en dit férenciant et en divisant par dx l’équation
on trouve
dx d a y
Pour savoir si la courbe est concave ou convexe , près du
point où elle suspend son cours , on augmentera l’abscisse de
ce 'point d’une petite quantité h , en faisant x = o -f- h ,
c’est-à-dire h, et en substituant cette valeur dans celle de
T*-!,; on trouvera
ÎX. = -+- s. l h* t/h
dx* * * a v
Ces deux valeurs de signes contraires indiquent donc deux branches ; l’une, AM (Gg. y&), qui tourne sa convexité vers Fig. ;6, l’arc des abscisses , et l’autre , AN , qui tourne sa concavité vers le même axe , par conséquent l’origine çst un point de rebroussement de la première espèçe.
i3a. Pour second exemple, prenons l’équation (y— è)* = (x— a) 3 ; cette équation nous donne
Si l’on fait x = a, on trouve ^ = ù ; mais si l’on donne a x des valeurs moindres que a, celles de y deviennent imaginaires ; car en mettant a — h à la place de x , on trouve
go CALCUL DIFFÉRENTIEL.
valeur imaginaire ; la courbe suspend donc son cours au Fig. j|. point C (lig. 74) , dont les coordonnées sont a et b.
Pour connaître de quelle manière s’étendent ses branches au-delà du point C , substituons à a; la valeur a -j-k, dans
celle de ; nous obtiendrons dx 1 ’
ày = .u 5
dc * wi'
Le signe supérieur de nous indique une branche CM ,
qui tourne sa convexité vers l’axe des x, et le signe inférieur nous indique une branche CN, qui tourne sa concavité vers la même axe : donc il y a au point C un point de rebroussement de la première espèce.
i 33 . Pour troisième exemple, prenons la courbe dont l’équation est
y = ax l ± bx* \/ x.
Si l’on faitx = o, on trouve y-o-, mais pour x négatif y est imaginaire j donc la courbe suspend son cours à l’ori-
gine ; examinons ce que devieift alors Pour cet effet , eu
écrivant l’équation de la courbe de la manière suivante ,
nous obtiendrons
y= ax% '■
: bx*
^ = 2 ax rfc | bx * , ^==™±.\.lb )/x-,
donnant à x une valeur positive très petite , représentée par
dy* dx»
h, la partie \ .b \/ h de la valeur de sera moindre
• / t jpV
que la partie sta , par conséquent les deux valeurs de
DES POINTS DE REBROUSSEMENT, données par l’équation
seront positives ; d’où il suit qu’à l’origine, il y aura deux branches qui tourneront leurs concavités vers l’axe des x. J1 existe donc, à l’origine , un point de rebroussement de la seconde espèce.
i 34 . Les points de rebroussement appartiennent à une plasse de points compris sous la dénomination de points multiples.
Des points multiples.
1 35 . On appelle points multiples les points où plusieurs branchés de courbe se réunissent. Un point multiple est double lorsqu’il est à l’intersection de deux branches , il est triple lorsqu’il est à l’intersection de trois branches ; ainsi de puite.
1 36 . Soit A (fig. 77) un point double, formé par les Fig. deux branches de courbe Ali, AC, auxquelles on a mené les tangentes AT et AT'. Si nous représentons par. .....
F(x, y) = o l’équation de la courbe, délivrée de radicaux,
la différentielle de cette équation , mise sous cette forme , Pdx-4- Qdy = 0, ne renfermera aucun radical , parce que la différenciation d’une fonction rationnelle 11’en introduit point dans cette fonction ; d’où il suit que P et Q seront des quantités rationnelles.
Cela posé, l’équation précédente noüs,donne
d .V P , fi/ s dr“"“Q " (64) ’
^ devant avoir deux valeurs différentes , puisqu’il y a deux P
tangentes , il faudra que — se détermine de manière que cette
condition soit remplie ; or , elle le serait , si — renfermait un
radical; mais c’est une chose impossible, puisque nous P
avons vu que ^ était rationnel ; dans ce cas , il faut que
l’Algèbre nous conduise à un résultat qui évite cette con-
tradiction , et o’est ce qui a lieu lorsque — se présente sous
la forme ^ f c ar nous savons que ^ est le symbole d’une
quantité indéterminée, et par conséquent susceptible de plusieurs valeurs.
i3y. Voici de quelle manière ce théorème se démontre.. Supposons pour un instant que * et «' représentent les deux * valeurs de la tangente trigonométrique de la courbe, au point multiple, ces valeurs devront satisfaire à l’équation
et donneront * ■
Ces deux dernières équations étant retranchées l’uue d* l’autre, on obtient
or, le facteur* — * étant composé de deux quantités inégales, ne peut être nul; d’où il suit qu’on a Q=o, ce qui réduit l’équation P-J-Q*=o à P=o. Au moyen de ces • / dv
valeurs de P et de Q , l’équation P + Q ^ =0, ou plutôt
== — ? devient dx Q
dy o- « * dx o
t38, Si au lieu de deux branches remues eu un point , nous en avons .
DES POINTS MULTIPLES.* * g3
tin plus grand nombre , il suffit d’en considérer seulement deux, pour prouver qu’au point de rencontre de toutes ces branches, : on
ne peut parvenir aussi facilement à la m ème conclusion , lorsque plusieurs branches de courbe n’ont qu’une tangente commune ; ne'anmoins,
dans ce cas meme , on peut encore prouver que doit se présenter sou»
la forme - r mais comme la démonstration, de ce thlorème est fondée o’
sur la considération des contacts des courbes , nous nous réservons de la donner art. (170), lorsque nous aurons parlé des courbes osculatrices. .
i3g. On peut remarquer que la démonstration de l’article i 37 étant fondée sur ce que l’équation primitive a été délivrée de radicaux, si l’on différenciait sans les avoir préliminairement fait disparaître , il pourrait se faire qu’une équation qui comporte des points multiples , ne donnât
pas^= Par exemple, l’équation de l’art. i3i , page 8g,
est dans ce cas ; elle a un point double à l’origine , et cependant si l’on fait x = o, l’équation (6a) se réduit à
i4o. Enfin, nous ajouterons que, quoique l’équation
^ ait lieu pour un point multiple , il ne s’ensuit pas
quelle ne puisse subsister que pour un point de ce genre ; car la démonstration précédente ne nous dit pas que cette propriété leur soit exclusive. Ainsi , tout ce que l’on en
doit conclure, c’est que la réduction de ^ à ?, indique
seulement qu’il peut y avoir un point multiple.
141 • Ce qui précède suffit pour nous indiquer le moyen de reconnaître Vil peut exister des points multiples dans uné courbe déterminée par une équation. Pour cet effet , soit U cette équation, ou en déduira, pour la différenciation,
94 * ' calcul différentiel;.
Pdx -J- Qdy = o , ■ et l’on verra si les mêmes valeurs de £ et de y satisfont à la fois à la proposée et aux équations P=o, Q -= 05 si cela est, ce sjpra un iudice que ces valeurs de x et de y peuvent appartenir à un point multiple , ef alors , en discutant la courbe aux environs de ce point , on reconnaîtra s’il est multiple. < ■ .
Des points conjugués.
142- Considérons une courbe qui soit telle que, dans la partie où ses coordonnées sont imaginaires , il existe seule-* tuent deux coordonnées réelles ; ces coordonnées Construiront un point qui sera entièrement détaché de la courbe, et auquel on a donné le nom de point isolé ou de point conjugué.
Représentons maintenant par y?=?fx l’équation d’une courbe qui a un point conjugué. Si a et b sont les coordonnées de ce point, il faudra qu’au moins, dans ses environs , les coordonnées soient imaginaires, autrement il ne serait pas isolé; par conséquent, si nous supposons que l'abscisse a s’augmente d’une petite quantité h , l’ordonnée correspondante , représentée par {a -f- h), devra être imaginaire ; or, la série de Taylor nous donne , en général,
j \ -r j j-r jjj, 1 dr 2 1.2 dx J 2-3
Faisant X —a, il faudra que l’ordonnée correspondante soit b ; par conséquent nous changerons y en b-, et, appelant
(!)• (£>• (g) , etc. , ce que deviennent les coelH-
ciens différentiels dans cette hypothèse , nous aurons
V(«+»)=i+(^)4+@)^+(aÿ)^+«<H,
Or, pour quef(a -j-ft) soit une quantité imaginaire, il faut
DES POINTS CONJUGUÉS. g5
au moins que l’une des expressions^^^, etc.,
soit imaginaire ; c’est-à-dire que l’hypothèse de x =a-^-h rende imaginaire l’un des coefficiens différentiels ; si cette condition est remplie, la courbe pourra avoir un point conjugué.
Par exemple, si l’on a l’équation
y = ±ix + b)\Zx, en la différenciant, on trouvera
ë= ± (-' /i + 3 -pî>
Cette valeur devenant imaginaire, lorsqu’on fait x=—b, et par conséquent y = o , il est à présumer que le point A (fig 78) , dont les coordonnées sont x— — b et y= o, est Fig. ;8, un point conjugué, nous reconnaîtrons ensuite si ce point est réellement conjugué , en augmentant et en diminuant successivement l’abscisse — b , d’une quantité plus petite que b, et nous trouverons que, dans les deux cas, y devient imaginaire , ce qui annonce que le point dont il est question , est un point conjugué.
i 43 . Les points conjugués, comme les points multiples,
manifestent leur existence en rendant - le coefficient diffé-
rentiel
dx
En efFet, l’équation
étant différenciée et divisée par dx, nous donne ” dx a '^x dx ^ dx *
gS ' CALCUL DIFFÉRENTIEL*
et l’on voit que le terme qui est affecté de a Q pour
coefficient j en différenciant de nouveau, on trouvera que.Q
est encore le coefficient de , et ainsi de suite : de sorte . dx 3
que lorsqu’on sera arrivé au coefficient de l’ordre n , nous aurons un résultat de la forme
Cela posé , il y a au moins l'ûn des coefficiens différentiel* qui devient imaginaire pour une valeur de x , et qui par conséquent contient un radical -, représentant ce coefficient par *
dx*’
il faudra donc qué la fonction de x que représente
cette expression, ait plus d’une valeur. Cela suffit pour que nous puissions conclure, comme dans l’article 137 , que
dy
Q = o , ce qui réduira l’équation P + Q ^ = 0 , à P = o ;
il suit de là qu’on doit avoir ^
’ dx o
Des courbes osculatrices »
l44. Soient y -=<px ety = Tx , les équations de deux Pi g- courbes qui se rencontrent (Eg. 24 ) au point M, dont les
coordonnées sont AP = x', PM —y', on aura donc , pour ce point ,
*x' = Fx';
supposons que x' devienne ensuite x' -f- A , les équation* précédentes donneront •
M'P' = ? (x'+A)=,px'+^A+ M”P'= F(x'+A)=Fx'+^A+
dx /*‘~ + etc.... (66),
d*px' h *
