d a Fx' A
__- + e tc ....(6 7 ).
DÉS COURBES OSCÜLATRICES. 97
Si tous les termes correspondais de ces développemen» sont identiquement les mêmes , les courbes se confondront; si l’on a seulement Fx' = px', les courbes, comme nous l’avons vu, n’auront de commun que le point M ; si, ojitre
Fx' = px r , on a > ces courbes se rapproche-
ront davantage ; et encore plus , si , outre ces équations , on
d*Fx' d î ^x / . . , . ., , . ,
a encore - , - = • , - , et ainsi de suite ; car il est évident dx * dx “ •
que la différence de M"P' à M'P' sera d’autant moindre, qu’il y aura un plus grand nombre de termes égaux dans leurs développemens.
Cela posé , soient a, b , c, etc. , les constantes de l’équation y r=Fx; on peut, sans changer la nature de la courbe, donner des valeurs arbitraires à ces constantes. Par exemple, ai l’on a l’équation y “ = mx -{- nx*, qui est celle d’une ellipse , quelque valeur que l’on donne aux constantes m et n, cette équation ne cesse pas d’appartenir à une ellipse , puisque l’équation conserve toujours la même forme (bien entendu qu’on ne fait varier m et n que de grandeur et non de signes, et .qu’on ne les suppose pas nuis). D’après cette •observation, on peut regarder comme arbitraires; les constantes a , b , c , etc. , qui entrent dans les équations
/= Fx',
dFx' d<px'
dx'
dx'
d’Sx'
dx'“
— ^ ■ 1 ■ ptr -
dx'* ’ TC ’ »
et en prenant autant de ces équations qu’il y a de constantes , on déterminera ces constantes par la condition que ces équations soient satisfaites.
Par exemple , si l’équation y —Fx ne contient que trois coûtantes a, b,c, on posera
dFx' àçx' d*Fx' d*px' d?“ “ d^T ’ d? r — dx^*
Fx' = ? x',
g8 CALCUL DfFFÊRF.NtlEL.
On tirera , de ces équations , les valeurs de a, de b et de
c , en fonction de x', dey , de etc. ; on les substituera
daas l’équation y = Fx. Alors elle jouira de cette propriété que, lorsqu’on y mettra x' -f-k à la pj^ce de x, l'équation (67) , qu’on obtiendra à l’aide de la formule de Taylor*, aura les trois premiers termes de son second membre respectivement égaux aux trois premiers du second membre de l’équation (66). ^
Ce que nous disons d’une équation qui ne renferme que trois constantes , peut s’appliquer à une qui en contiendrait un plus grand nombre.
i 45 . Prenons , ppur exemple , le cas où l’équation y~Tx représente celle d’une ligne droite ; Cette équation y =Fx sera donc remplacée par celle-ci.
y = ex + b... (68).
Les équations de condition , nécessaires pour l’élimination des constantes a et b, seront
<px' — ax+b, = <*•••. (69);
et comme tpx' représente l’ordonnée en M de 1 k courbe dont l’équation est y == çx,, et que x' correspond ày', nous pourrons remplacer çx' par y, et les équations 69 se changeront en
y' — ax' + b, Ÿx ,= a ’ éliminant a, on obtiendra
Substituant la valeur de Z), donnée par cette équation , et celle de a , dans l’équation (68) de la ligne droite , celle-ci
DES COURBES OSCULATRICE*.
deviendra
On reconnaît dans cette équation, celle d’une tangente MT (Gg. 5) au point M, dont les coordonnées «ont x' et y'. p;- 5 Nous verrons bientôt pourquoi cette droite MT est tangente en M.
146. Reprenons la théorie précédente, et pour éviter les périphrases , convenons de dénommer les courbes par leurs équations. Nous avons Vu, article \44> q ue s * i es courbes y = ^x ety = Fx avaient seulement un point commun , en représentant par x' et y’ les coordonnées de ce point, on aurait l’éqnation de condition Fx' =çx' \ mais qu’en déterminant deux constantes de l’équation^ = Fx, par les con-
... , , dFx' d«x' , ,
ditions Fx — çx , et les courbes commence-
raient à se rapprocher.
Représentons par y =fx ce que devient y = Fx après qu’on y a substitué les valeurs de ces deux constantes, la courbe y—fx sera une osculatrice du premier ordre, à la courbe y=fx ; et si , toujours en vertu des valeurs arbitraires qu’on peut donner aux constantes, on élimine trois des constantes de l’équation y=Wx, au moyen des équations sui-
va nf pq
, dFr'd*x' d’Fx' d‘çx'
dx' ~ dx' * ~ dx'»"“ (7,) '
F x' — çx'
et qu’on représente par 4<x ce que devient Fx, après cette substitution , cette courbe y — 4» c sera une osculatrice du deuxième ordre à la courbe = çx , dont elle approchera encore plus , et ainsi de suite ; de sorte que pour une osculatrice dÉbi ,Vm * ordre, nous aurons les équations '
dipx' d*F.r* dx' ’ dx /% ~
d*«x' . d*F.r' d n çx'
"da/* "" dx'“ dx'“ ’
,/ 7 . Nous allons démontrer que, de deux osculatr.ee* qu’on a obtenues ainsi , en faisant varier les cons an es d une même équation, celle de ces osculafrices qui est d un ordre inférieur, ne peut passer entre l’autre et la courbe a laquelle
on a mené cas o^ulatrices.
Par exemple , soit MB (Gg. M ) . 1* cou ^ e ^ = > etML ! ‘ 8 on osculatric e y = ** du second ordre; il s agit de démontrer que l’osculatrice y=fx du premier ordre, ne peut
passer entre les courbes MB et MC. •
P Pour cet effet, en mettant x' + h a la place de x, dan
ces équations , nous trouverons
, for' j. , . d> » a ' bL etc.
P'M' ou h) = e * + -jgr » +-JpT a + d*'* a. 3
# Jl,'. . dH-r' A»
P'M" OU 4(*'+ fc) = 4 ^+ djr "* dl 7 » a + di' ] a.3 Tt ' ’’
, d/y. . A'fr’h* à\fx‘ h'
/(y+fc)=/^+t7 dPT 7 + "dy^ + ’
la courbe y = 4x étant une osculatrice du second ordre Ày-=<px , il faut qu’on ait
d-J/x' dipx' d^£'d^
ÿx' = <px', — dx r ’ dx' a dx' 1 '
D’une autre part ,y—fv. étant une osculatrice du premier ordre iy=çx, on a encore
, d fx’ dpx'
/*'=**> dZ=dF ;
en vertu de ces équations , on a donc
çx' — W — f x > â<px à^x d/y àx r
et seulement
dx'l
dx' dx' z dx' a
DES COURBES OSCULATRICES.' toi
faisons, pour simplifier , ‘
, dV
les trois développemens préccdens pourront s’écrire ainsi :
à?0xf h?
P'M' ou ? (*'+ h) = K+Vh'+ ^ + etc. -,
PM" ou 4,(x'+A) = K + \A a +-^,- 0 + etc.,
et en observant que tous les termes , à partir de celui qui est affecté de A 3 , ont A 3 pour facteur commun , nous pourrons supposer
d 3 <px' h 3 ,
Âf3T3 + ' K - = M * •
et en faisant des réductions analogues dans les autres équations , on aura
<p (x'+ /i) = R + VA 1 + MA 3 ,
