A) = R + VA* 4- NA
/^+A) = R + i 'ÿgh'+n*.
Les courbes y—fx et y=z^x étant des osculatrices , l’une du premier ordre et l’autre du second ordre . V diffère
nécessairement dp £ On ne peut donc faire que deux
hypothèses sur V, savoir :
loa CALCUL DIFFÉRENTIEL.’
Si V est moindre que i , soit Z l’excès de l sur V, on aura
V + Z ~ ï dx" ’
si au contraire V surpasse \ , la quantité Z sera né-
gative.
En substituant cette valeur de | dans celle de. . .
f (x'-f- A ) , et en observant que A® est facteur commun , no» trois développemens deviendront a
<p (y -f h) = k + ( v + ma)a®, vKr' + i) = R + (V + NA)A®, jf(r' + A) = R+(V + Z+PA)A*.
Or, en faisant A très petit , il est possible que la quantité Z indépendante de A soit plus grande que les expressions MA et NA qui tendent vers zéro. Aiors, si Z est positif, f (x'-f- A) surpasse 0(x'-f- A) et A) ; dans ce cas, on a donc
ïig. a4- / ( x '+ *) ou P'M* (fig. 2iQ plus grand que P'M' et que P'M", ce qui montre que la courbe y —fx , représentée par MM®, ne peut passer entre les deux autres.
Si, au contraire, Z est négatif, on a ou P'M 1 *,
moindre que P'M' et que P'M". La courbe MM” étant alors celle qui s’approche le plus de l’axe des x, ne peut être comprise entre les deux autres.
Fig. 5. 148. On peut maintenant expliquer pourquoi la ligne droite
(fig. 5), qui, art. 14b, est une osculatrice du premier ordre, est tangente à la courbe; car il résulte de notre théorie , qu’entre cette droite et la courbe , on ne peut faire passer aucune autre droite, ce qui est la propriété de la tangente.
On dit que la tangente a un contact du premier ordre
DES COURBES QSCüUTRICES. lo3
avec la courbe En général , une osculatrice d’un ordre n a un contact du même ordre avec la courbe à laquelle elle est osculatrice; ainsi, lorsqu’on a, entre deux courbes, les équations
d’pr' d'F r'
dx'* dx'* ’
d(px'dFx'
fx-Fx', - dx ,— -JJ,
ces courbes ont entre elles un contact du second ordre ; ce contact sera du troisième ordre si, outre ces équations, on a encore celle-ci :
dW d 5 Fx'
djp ,J .~ 4*' J ’ , . 11
et ainsi de suite.
j L’ équation du cercle, qui est
(y — fiy+(x— *y=y\
renfermant trois constante» , nous pouvons déterminer le cercle qui a un contact du second ordre , avec une courbe MN (fig. a5), dont on a l’équation. Pour cet effet, soient Fig a5. x' et y les coordonnées du point M de la circonférence de ce cercle ; la valeur de y' sera dornée par l’équation
( / — PY + ( r'— »)**='/’ (7 3 ) •
et devra remplacer Fx' dans les équations du contact, qui sont
, , c\tpx' dFi' d’fx / d*Fx'
»o/ = Fx. TyT=^:
si nous adoptons en même temps x et^ p pour les coordonnées de la courbe yz=:çx, au point de contact, les équations précédentes deviendront
v-v' h— Ë/ ÿy—^y
7 7> dx~~ dx" dx* “ dx'*
il faudra donc mettre , pour les quantités y , , et
JO 4 CALCUL différentiel;
leurs valeurs tirées de l’équation (73) * et de ses différentielles successives , qui sont
^ “ « Si + + 1 = °* • * * C76).
Or, substituer dans les équations ( 7 4 ) les valeurs de y',
J dx # * * dV
, données par les équations ( 7 3 ) , ( 7 5 ) et (78), n’est autre
chose qu’éliminer ces quantités entre les équations ( 7 3),
(74) > (7$) et (76) , ce qui revient à effacer les accens dans les équations ( 7 3 ) , ( 7 5 ) et (76) , en observant d’ailleurs que quand
y—y'ç on a x=x'; supprimant donc les accens , on trouvera
ly-W + (* — "T — r*« • -(77) »
De cette dernière équation on tire
Ëï.
dx 4
Mettant cette valeur dans l’équation (78) , on obtient
C, + in
V dWdy
dx 4 .
DES COURBES OSCtJLÀTRICES. Io5
Si dans l'équation ^ 77 ) on substitue ces valeurs de y . — fi
- <» , on aura (*+&)*(
■+gy
et, en ajoutant les numérateurs qui ont un facteur commun, on aura
cette équation se réduit à
et , en tirant la racine carrée , donne *
#2 v ' dx*
i5o. Le double signe est relatif à la position de y : si la / d 2 y
courbe tourne sa concavité vers l’axe de x , alors sera
négatif-, et pour qu’alors y s? détermine positivement, nous prendrons y avec le signe négatif, et nous écrirons
dx*
ïo6 CALCUL différentiel;
car la courbe , tournant sa concav ité vers l’axe des abscisses;
tient la place d’une quantité négative, qui, lorsqu’elle
sera substituée dans la valeur de y, la rendra positive.
i5i. On a donné au cercle que nous venons de considérer, le nom de cercle oscillateur , et à son rayon, celui de rayon de courbure; il ne s’agira donc, pour obtenir le rayon de copbure, que d’avoir l’équation de la courbe, pour en déduire les coeiliciens différentiels qu’on substituera dans la formule 8a.
Si la courbe devait tourner sa convexité vers l’axe des x , nous ferions précéder la valeur de y du signe positif.
i5a. Ou écrit quelquefois ainsi la valeur de y :
(dr>-t- dy>)’
* dxd’jc
Celle formule se déduit facilement de l’éqnation (8a) ; car en réduisant au même dénominateur les deux tonnes qui sont sous la parenthèse , et en obsenant que la puissance de <Lr’, est da 3 , on obtiendra
(d»*-+- dv’ ‘
(dx*
■ dr’)‘
dx>'i^
dx*
dxd*y
i57. Pour donner une application de la formule 8a , cherchons le rayon de courbure de la parabole NAM Fig. a 0. (hg- 2 ^) , dont l’équation est x * = my ; nous trouverons
donc
, , dy sx d*y a
üxàx = mdy , ■¥- — — > jtz— — ;
J dx m dr a m
, bES COORBES OSCÜLÀTRICES*
et en élevant les deux facteurs à la puissance f , on a
loj
mr
or , la normale à la parabole ajant pour expression.
— + x'y t on voit que le rayon de courbure de la parabole est égal au cube de la normale , divisé par le carré du demi-paramètre. * .
1 54- Le cercle osculateur peut servir à mesurer la courbure de la courbe en un point M (fig. a5) ; car , si en ce point M on décrit , avec le rayon de courbure , un arc a5 ‘ ML très petit , cet arc pourra être considéré comme Parc même de la courbe , dont il s’écarte très peu j or , plus l’arc ML a de courbure , plus son rayon est petit ; d’où il résulte que par le décroissement du rayon de courbure, ou par son accroissement , on pourra connaître si la courbe augmente ou diminue de courbure.
Par exemple , en considérant l’équation (83) , qui donne le rayon de courbure de la parabole , on voit qu'au sommet
de la courbe , où x = o , y = ^ ; mâis que lorsque x s’accroît successivement , y augmente , ce qui annonce que la courbure de la parabole va en diminuant , lorsqu’on s’écarte du sommet.
1 55. ^ exprimant la tangente trigonométrique de l’angle
que la tangente en M (fig. a 7 ) fait avec l’axe des x , l’équa- j‘ig, 37 . tion de la normale assujétie à passer par un point dont les coordonnées sont « et p , sera
dx , .
calcul différentiel;
Cette équation étant la même que l’équation (78) dan» laquelle « et p sont les coordonnées du centre du cercle osculateur , on voit que le rayon de ce cercle est une normale à la courbe. *
1 5 6 . Si maintenant, par tous les points d’une courbe Fig. a8. MM'M", etc. (fig. 28) , on mène des rayons de courbure
MO, M'O', M" 0 ", etc., on construira une suite de points O, O', O' ’, etc. ; ces points étant assuiétis à une certaine loi , (*) cela suffi’ pour que nous puissions donner le nom de courbe à leur système; mais nous ne prononcerons encore rien sur la nature de cette nouvelle courbe qu’on appelle la développée de la courbe MM'M*. Celle-ci, considérée relativement à la développée , est appelée la développante „
