Si l’on passe d’un point à l’autre de la développée
non - seulement x et y varient, mais encore», p et y varient en même temps; car * et p étant, en général , les coordonnées du cercle oscular> ur, comme la développée est formée par le système de ces centres , il en résulte que m et p sont les coordonnées de la développée ; coordonnées qui doivent varier d’un point de la courbe à l’autre. Il en est de même de y , qui est le rayon du cercle osculateur , et qui représente alors la distance d’un point quelconque de la développée à un point de la développante d’où est parti y. Par conséquent, en différenciant l’équation (78), par rapport à toutes les lettres (**) et en divisant par dx , nous
(*) Elle est implicitement renfermée dans l’équation de la courbe MM'M", puisque cette courbe étant donnée, la position de ces points en résulte, (♦*) On ne peut pas différencier autrement l’équation
et ses dérivés ; cependant il semble que nous ayons agi autrement, lorsque de l’équation (- 3 ) nous avons déduit les équations (75) et (76), Je répondrai que , comme nous avions deux constantes arbitraires dans.
DES COURBES OSCULÀTRICES/
obtiendrons
d’y , d’y dy d /3 d«
d> + d?“ dl dl + 1 ~ te = ' ° ;
retranchant l’équation (79) de celle-ci, il reste
d’où l’on tire
.dy d0 d»
dx dx dx °'
or , art. 67 ,
donc
dx d/8 dx ^ d/8 *
dx dx
1 , dx *
d/j — djf’
dx
dy __ d* dx
dx dx d,i ’
et par conséquent, art. 24, »
dy d*
dl“"~
si l’on substitue cette valeur de ^ dans l’équation (78) , on obtiendra
l'équation (^3) , nnits les avons rle'terminces par la condition que les fonctions représentées par les premiers membres des équations (c5) et fussent nu Iles; mais , sans cela , nous n’auiions pas eu le droit de conclure de ce qoe l'equation (j3) a lieu, que ks équations (jif et (;6) doivent aussi avoir lieu.
/te
Fig. 3i.
no calcul dîfférewtiél;
i 58. Nous «vous vu, article i55, que l'équation......
djr
y — /8= — (x — «), était celle du rayon de courbure
qui passait par le point dont les coordonnées sont x et y.
. dx d? . „ , . ,
En remplaçant — ^ par — , ce sera toujours 1 équation du
même rayon; mais l’équation ( 84 ) étant aussi celle d’une tangente menée au point de la développée, dont les coordonnées sont « et Æ ( * ) , le rayon de courbure est donc tangente à la développée.
i5q. Comme dans la démonstration suivante nous emploierons la diirérentielle d’un arc de courbe , Éous allons déterminer cette différentielle.
Supposons qu’une abscisse AP = x (Gg. 3i) s’accroisse de PP' = /i; si nous menons la parallèle MO à l’axe des x, nous aurons évidemment
or.
corde MM' = }/ MO'-f M'O^ M'O* ;
M J b=/(x + ^) -/x = ^ A + ëfl" + ’ etC ’ î
substituant cette valeur oans l’expression de MM', et représentant par A, par B, etc., les coefliciens de h 3 , de h etc. , on aura
MM ' = \J Atf + BAH- etc.,
{*) Observons qu’en general a. et fi étant les coordonnées d'un point quelconque de la développée, l\ quation de la développée sera jt j
donc — représente , art. ji , l’angle que la tangente au point «, fi , fait avec l’axe des abscisses.
DES COURBES OSCULATRICES.
lu
MM' = v/*’(' +£)+"’+ B ' ,,+ etc.,
donc
^T-=V/ J +^ i 4-AA + B/i > + etc.
Dans le cas de la limite , la corde se confond avec l’arc que je représenterai par s, de sorte que nous aurons
d’où nous tirerons , en multipliant par dx , ës = V/ dx“ dy\
