Pour la développée , dont les coordonnées sont « et
/3, nous aurons donc également
às = \/d« + d/ 3 *.
161. Différencions maintenant l’équation (77) par rapport à toutes les lettres , nous trouverons
(y — P) (dy— 49 ) +(* — *) (dx—d«)=ydy;
l’équation (78) nous donne
(jfr— P) d^ -f (x — «) dx == o -,
retranchant ce résultat de l’équation précédente, il nous reste
— ( y — P) àp — (x — «) d<* = ydy ( 85 ).
Si dans cette équation ( 85 ) et dans l’équation (77) , nous substituons la valeur de y — P , donnée par l’équation (84),
Fig- *)•
nous trouverons ces deux équations
— (x — «) — (x — *) d<* — ydy,
mettant x — « en facteur commun, et tirant la racine carrée de la seconde , ces équations dev ennent
— (x — *0 — j =vdy ,
- •— eu* •
dit
divisant la première de ces équations par la seconde , on obtient
dy = — l/ d/ 8 * + <k“.
Or nous avons vu , art. 1 So , qu’en appelant s un arc de la développée, on avait
ds = Ÿ d/ 3 * -|- d«“ ;
en comparant cette équation à la précédente , nous en déduirons
dy = — ds, ou d(y-f-s) = o;
et comme toute fonction dont la différentielle est nulle, est constante , nous avons donc y + s = constante; donc si le rayon de courbure s'augmenté, il faut que s diminue d’autant.
On énonce cette proposition en disant que le rayon de courbure varie par les mêmes différences que la développée.
162. Soient (fig. 29) MOr=y; OB = s; M' 0 ' = y; O'B = s' ; nous avons donc, pour le rayon de courbure MO,
ou
y -{- s = constante,
MO -J- arc OB = constante .... (8G).
COURBÉS OSCULATRICES. Il3
Pareillement, le rayon de courbure M'O' donne lieu à
l’équatign -
y' -J- s' = constante ,
Ou
M'O' -f- urc O'B = constante. . . . (87) ;
.les seconds membres des équations (86) et (87), représentant une même constante , nous tirerons de ces équations,
M'O' + arc O'B = MO -f- arc OB ,
et par Conséquent ,
M'O' — MO =arc OB — arc O'B = arc 00 ',
ce qui nous apprend que la différence de deux rayons de courbure est égale à l’arc qu'ils comprennent entre eux.
i 63 . Il suit de là, que si l’on applique sur la développée OB (fig. 29) Un fil qui , se terminant tangentiellement , soit f ig. 39. fixé au point Mdela développante MC, lorsqu’on développera ce fil , en le laissant constamment tendu , son extrémité M décrira dans ce mouvement la développante MC; car, en supposant que dans son mouvement il soit arrivé dans une position O'M', il se sera accru de OO', et par conséquent égalera en longueur le rayon de courbure qui passe par le point O' ; donc l’extrémité M' de ce fil sera sur la déveloj.-* pante.
164. Voici de quelle manière on peut trouver l’équation de la développée : i°. on tirera de l’équation de la courbe,
les valeurs de y, et des coefticiens différentiels^., etc.;
J dx dx*
a 0 , on substituera ces valeurs dans les équations (78) et (79), ce qui donnera deux nouvelles équations, qui ne seront plus que des fonctions de x\ 3 °. éliminant x entre ces équations, on parviendra à une équation entre * et fl. Cette équation aéra celle de la développée.
. Il4 CALCCL DIFFÉRENTIEL. •
1 65. Déterminons par ce procédé la développée de U parabole , dont l'équation est x 1 = my : en différenciant on trouve
axdx = mdy,
et par conséquent
dy ax d^y a
dx 'm ’ dx a m ’
substituant, dans les équations (78) et (79), ces valeurs de y, de ^ et de ces équations deviennent
dx 1
\77l / TU
(- — / 3 ')-+^r+i = o — (89); \tn J m m
igrv
•iv
retranchant l’équation (88) de l’équation (89), multipliée par x, on obtiendra
D’une autre part , l’équation (89) multipliée par m*, et . . réduite , nous donne
6x* — am/3 -f- m* = o ;
d’où l’on tire
cm .
En éliminant x entre les équation* (go) et (gt), on aura l’équation de la développée.
Mais avant de faire cette opération , remarquons que pour
l’origine ou x = o, les équations (90) et (91) se réduisent à
Eig. 3a. » = o , fi = — ) -en prenant donc AB = — (Gg. 3a), on a le
point B de la développée j on voit ensuite, par l’équa-
■ Digitize*
DES COURBES OSCULATRICËS. Il5
t)on (91) » tl u en donnant des valeurs positives ou négatives à x, fi augmente à mesure que ces valeurs s’accroissent , d’où il résulte que la développée se compose de deux branches 13 C et BD. t
16G. Pour éliminer x entre les équations (gc) et fgt) J a première, élevée au carré , donne
ib' 1
d une autre part, on tire de l’équation (gi) t
en élevant au cube les deux membres de cette équation on trouve ‘
égalant ces deux valeurs de x 6 , et divisant par m 3 on obtient *
appelons fi' la quantité fi — et multiplions par 27, cette équation devient
n 11 est facile de t )rouver <I ue brandies BC , BD se tournent leur, convexités; car en différenciant l’èqaation ou p =n j > on
Ù1ÊL — » Ji ~s a /» , -, .
d,*,,— s" * V y ^.valeur négative pour «positif comme
pour « négatif, ce qui prouve que chaque branche tourne sa concavité ' *«« J axe de® x. •
llG CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Fig. 3a. en faisant -~ m = n; l’origine est alors transportée eii B,
puisque 0 — P — — .
167. Une osculatrice peut être située de «Jeux manières différentes , à l’égard de la courbe avec laquelle elle est en contact : i°. elle peut avoir ses deux branches toutes deux Fig. 33. ait -dessus de la courbe, comme dans la fig. 33, ou toutes Fig. 34. deux au-dessous, comme dans la fig. 34; alors l’osculatrice ne fera que toucher la courbe ; a°. l’osculatrice peut avoir une branche au-dessus de la courbe et l’autre au-dessous , Fig. 35. comme dans la fig. 35 ; dans ce cas, l’osculatrice coupera la courbe au point M.
Fig. 3f. 1G8. On va démontrer (fig. 36) que le cercle osculateur
coupe la courbe.
Soient pour une même abscisse x -f- h ,
Y l’ordonnée de lp courbe,
Y' l’ordonnée de Tosculatrice ;
on a donc
Y = ç (x 4- A) = <px -f- Ah -f-BA a + C/1 3 -j- etc. , 1 Y'= F(x -f- A) = Fx -f- A'A-J- B'A a -f- C'A’-f- etc., J
Or, puisque le cercle est une osculatrice du second ordre, les trois premiers termes de ces développemeiîs seront le* mêmes ; donc la différence des ordonnées , qui correspondent à x -f- A , sera
(C — - C')A 3 -f- etc. . . . (93).
Supposons maintenant que l’abscisse devienne x — A ; il faudra changer h en — A dans la différence des ordonnées, qui deviendra
— (C — C') A 3 -f-etc... .(g4)-
Or, comme le premier terme des suites (g3) et (g4) peut «urpasser la somme de tous les autres termes, eu prenant h
DES COURBES OSCUL ATRTCES.
assez petit , il en résulte que la différence des ordonnées changera de signe , lorsque l’abscisse, au lieu d’être a? -f -h , sera x — h\ ainsi, en prenant (lig. 36 ) PP"=rPF=/t, si Fig. 36 . la différence des ordonnées correspondantes à x-\-h-est une quantité positive, c’est-à-dire si l’ordonnée FM' de la courbe surpasse P'N', l’ordonnée P"î^ " de l’osculatrice surpassera l’ordonnée P"M" de la «ourbe : d’où l’on conclura que l’osculatrice est d’un côté au-dessus de la courbe et de l’autre au-dessous,, et par conséquent la coupe.
Ce que nous disons du cercle, qui. est une osculatrice dir deuxième ordre , peut s’appliquer à toute osculatrice d’ordre pair.
169. Si l’osculatrice était d’un ordre impair, elle toucherait seulement la courbe, au lieu de la couper. Cela est évident d’après la démonstration précédente.
170. Voici le théorème que nous avons promis de donner, art. i 38 , sor- Ica points multiples. Si Ica courbes qui sc réunissent en un de ces points , ont line tangcnlc commune, dont l’équation soit représentée par a jr’-f- i, nous changerons Far en ttx + b, dans la seconde d^équatious (93), ce.
qui donnera — ou A' ==a , et tous les (pures coefficiens de cette équations seront nuis. La tangente étant une osculatrice du premier ordre,
<pr-f-A/i égalera Fx-h A 'ti , ce qui réduira la différence des équations (93) à Y — Y' = B/r’-f-C/i J -t- etd.
Cette différence des ordonnées devant avoir une valeur double, QMet QM'
(Gg. 3 o), il faut que l’un des coefficiens différentiels qui sont représentés par Fig. 3 o,
R , C , etc. ait deux valeurs. Soit ** ce coefficient; si l’on prend les dif-
férentielles successives de l’équation Pd x -f- Qdy = o, nous avons vu, art. 1^3, qu'il chaque différenciation Ip terme Q reste toujours facteur de la différentielle de l’ordre le plus élevé de y; de sorte que la différentielle de l’oTdre n delà fonction proposée, pourra être représentée par
Qdf. + K=o.
dx*
devant avoir dçux valeurs, on prouvera, comme-
dans l’art. i 37, que Q est nul. Cette valeur de Q réduira celle dt P 4 , |éfO ; d’oil il siul que l’équation =: — q donnera — -.
Application du théorème de Taylor au développement des fonctions des deux variables qui reçoivent des accroissemens.
171. Lorsque dans une fonction u, de deux variables indépendantes x ety, on change x en x+ A , et y en y + A , Je théorème de Taylor peut nous donner le développement de cette fonction. En effet, si l’on substitue d’abord à a; la valeur x -f- h , on aura • •
j., . , . . du , , d a u h 1 . d 3 u h? , ,
/(x+M=“+ S /, + d^ ü + d? O + GtC - ( 9 5) ;
h étant en évidence dans ce développement,^ ne peut être
contenu que dans les fonctions u , ^ , ~r~» t-t , etc. Chan- * . dx dx J dx J
géant donc y en y -f- k dans ces fonctions, nous remplacerons , dans l’éqmtion (g 5 ) ,
. dit , d 3 u k * . d’u P
“P ar “+ à^’ k + àÿ 7 +
du
dp aJÎ + etC ’'
du
du i
rl àu
°'dx
dx r ~ dx *
ày
d ‘dxV
& ar à^ + ~àf l
etc.,
etc. ,
etc..
du
d’- ’dx F
dxA* u* «
' “dp" 2 + “dp“ ÏT 3 + etC ' ’’
d»n Vu
‘dx 3 *’ , dx* P ,
■ f -d7’-r3 +etC ’ ;
etc. , etc. ;
etc. ,
et formant autant de lignes qu’il y a de termes dans l’équation (9 5 ) , nous obtiendrons
DÉVELOPPEM. DES FONCT. DE DEÜX VARIABLES. 1IÇ)
/(*+A<y+*)=?u+gÿ*+ j+etc.
d *^ u du, 'dr
A&+ etc.
