h etc

Tdx a 2 r

-f- etc.

172. Si l’on eut fait les substitutions dans un ordre inverse , on aurait d’abord trouvé , en changeant y en^ -f- k,

r. . * . du , d’« k % d 3 U k 3

et en mettant ensuite dans chaque terme x -f- h à la place de x , on serait parvenu à ce développement

r, . , . , . du . . d*u h* >

f(y + k,x+h) = u + 7 *rh+ + etc.

dix

du

Sÿ

dx a a d ^

k +te hk + etc ->~*<3 7 )‘ , d’u k » .

+ t-tj e tc.

dj* 2

-f- etc.

X.’ ordre dan* lequel nous avons fait ces substitutions étant arbitraire, puisque devant mettre x-{-h partout où entre x, et^-f-fc partout où entre y , ces opérations ne peuvent influer l’une sur l’autre ; il en résulte que les deux dévelop- ’ pemens 96 et 97 doivent être identiques , et que , par conséquent, les termes affectés des mêmes produits de h et de k ont les mêmes valeurs. Si nous égalons donc entre eux le*

130 CALCUL DIFFERENTIEI.

termes qqi sont multipliés par hk , nous obtiendrons

, dit , dn

à -àï à ty àx ‘

ou plutôt

ày àx * **■ àxày-àyàx

Cette équation nous apprend que pour prendre la différentielle seconde du produit de deux variables, l’ordre des différenciations est arbitraire. On prouverait la même chose pour les coefficiens différentiels des ordres supérieurs, en égalant entre eux les coefficiens différentiels des autres termes des. équations (96 et 97), ' . ’

Des maxima et minima , dans les fonctions de deux variables. - •

173. Nous venons de voir, art. 171, que si, dans une fonction de deux variables indépendantes x et y, on remplaçait x par x-t-h, es y par 7^ -f- A, le développement de f (x+ h, f-hk) était donne par l’équation (96). Si dans cette équation nous rcpréscntons/(x-t- hy+k) par d —

Ti r t ’ dar d’u

U , k par mn , et P ar d^djr’ nous aarons

-, . /"d u du\ t , Z' à' u d’u . d’uN

v + W + ï Of m ' + 2 + &0

d*ix

. — ,-2-1 — ; — ni-

v-tbr’ dxdy

termes t/i h 1 , en ht, etc.. . . {98).

Pour que u soit un maximum ou un minimum, il faut que, quelque valeur que l’on attribue ;yix arcroissemens h et A, U soit toujours plus grand que u ou toujours plus petit ; or , cela n’est possible qtie d'autant

que le terme m + È) est nul, car si cela n’était pas, ce

terme , art. 89 , pouvant être rendu plus grand que la somme algébrique de tous ceux qni le suivent , mu yennant une valeur convenable de hjcn prenant successivement cette valeur négative et positive , on rendrait , dans l'nn des cas, U plus grand , et dans l’autre moindre que u ; ainsi , pour que cette fonction u soit un maximum ou un minimum , il faut que l’ou ait ...

Kë m+ a9~‘