AA

1 tn* 4- 3 ^

ajoutons sous la parenthèse la quantité identiquement nulle — — , l’expression (99) pourra s’écrire ainsi :

- lAA»[( w + |)*4-^-?i]...(,oo) i

et l’on voit qu'elle sera toujours du signe de A Ji , C et A étant de C B*

mêmes signes, l’on a — > — c'csl-à-dirc AC > B» j car alors la quan- A A*

titc, qui est multipliée par i AA*,*era essentiellement positive, et

le signe de l’expression (100) dépen Aa de celui de A , de sorte qu’on aura un maximum ou un minimum, suivant que A sera négatif ou positif, c’est-à-dire suivant le signe de qui est le même que celui do

■j-- , parce qu'on a vu que C et A étaient supposés être de même signe .

De la transformation des coordonnées rectangugulaires en coordonnées polaires.

f*S- 79 * 175. ^Considérons une courbe BDC (Gg. 79) dans laquelle.

on a déterminé, de position , un point M, à l’aide des coordonnées rectangulaires AP = x et PM = y \ ce point peut » être également déterminé si l’on donne l’angle MAC et le rayon vecteur AM ; mais comme on mesure ordfhairement les angles par les arcs , nous remplacerons l’angle MAC par l’arc mo , décrit avec un rayon pris pour unité ; ainsi , en nommant t cet arc rçio , çt u le rayon vecteur AM , nous pouvops substituer le système des coordonnées polaires t et u à celui des coordonnées rectangulaires AV~x et PM= y.

176. Il est à observer que l’origine des abscisses est quelquefois placée ailleurs qu’en o, car le point M est également déterminé, lorsqu’après avoir pris un point 0' pour origine, on donne l’arc o'm et le rayon vecteur AMfcdans ce cas , nous pouvons représentai o'm par et alor^putes les abscisses , comptées de l’origine o , différeront des abscisses comptées de l’origine o', d’une quantité constantes 00', et il y aura entre elles la relation suivante :

Comme, au moyen de cette relation, on peut toujours changer l’origine de la manière qui nous convient , nous supposerons , poqr plus de simplicité , l’origine en o.

177. Représentons maintenant pag F(x,y) = o, l’équation dans laquelle nous voulons changer les coordonnées rectangulaires AP = x et PM y=y en coordonnées polaires. o m = t et AM = u , et cherchons les relations qui existent entre ces coordonnées ; nous avons évidemment

AP = AM cos MAP, PM = AM sîn MAP ,

eu ‘ * -

X = u cos t , y = u sin t. . , .(loi)..

DE LA TRANSFORM. DES COORD. POLAIRES. 123

Il suffirait donc de substituer ces valeurs dans l’équation représentée par F(x,y) = o, pour obtenir celle qui serait rapportée à des coordonnées polaires.

178. Si l’origine des coordonnées rectangulaires x et y n’est pas au centre A de la courbe (fig. 80) ; soient x', y' les j ig, g 0 . coordonnées comptées de l’origine A', et a et files coordonnées comptées du centre A j on aura