Prenons maintenant l’équation

et supposons que y devienne y' lorsque x devient x + h‘, nous aurons donc

et en développant ,

y rsx 3 -f 3x*h + 3 xh % -f h 3 :

si de cette équation nous retranchons l’équation (t) il restera

y y = 3 x*A + 3xh* + h 3 ;

et en divisant par h ,

Voyons ce que ce résultat nous apprend :y -yy représente l’accroissement de la fonction y en vertu de 1 accroissement h donné à x, puisque cette différence y' —y est celle du nouvel état de grandeur de y à son état primitif. D’une autre part , l’accroissement de a: étant h, il suit de

là que l’expression-^-^ est le rapport de l’accroissement

de la fonction y à celui de la variable x. En considérant le second membre de l’équation (a), on voit que ce rapport diminue d’autant plus que h diminue, et que lorsque h devient

nul ce rapport se réduit à 3x*.

Ce terme 3x* est donc la limite du rapport — j-— : c est

yers ce terme qu’il tend lorsqu on fait diminuer h.

4. Dans l’hypothèse de h=o l’accroissement de y devenant aussi nul, se réduit à et par conséquent 1 e-

différenciation des quantités algébriques. 3 quation (a) devient

Cette équation n’a rien d’absurde, parce que l’Algèbre

noils apprend que - peut représenter toutes sortes de quantités. D’ailleurs on Conçoit que puisqu’en divisant les deux termes d’une fraction par un même nombre, cette fraction ne change pas de valeur, il en résulte que la petitesse des termes d’une fraction n’influe en rien sur sa valeur, et que par conséquent elle peut rester la meme lorsque 6es termes sont parvehus au dernier degré de petitesse , c’est-à-dire sont devenus nuis.

La fraction ^ qui se trouve dans l’équation (3) est un

symbole qui a remplacé le rapport de l’accroissement de la fonction à celui de la variable : comme ce symbole ne laisse aucune trace de cette variable , représentons-le par

• alors ^ nous rappellera que la fonction était yr et que

la variable était x. Mais dy et dx n’en seront pas moins des quantités nulles ,»et nous aurons

• ’ --tt):

^ oü plutôt sa valeur 3x* est le coefficient différentiel de dx r ,

la fonction y.

5. Remarquons que pétant le signe qui représente la limite 3x* [ comme le montre l’équation (4)], dx doit tou-

jours être placé sous dy. Cependant, pour faciliter le# opérations de l’Algèbre, on peut momentanéiüent faire évanouir

le dénominateur de l’équation (4) , et l’on a dy = 3x a dx. Cette expression 3x"df e#t ce qu’on appelle la différentielle

de la fonction y'.

^ tALCÜL DIFFÉRENTIEL.'

6 . Cherchons encore la différentielle de la fonction a •f - Sx*. Pour cet effet, il faut donc dans l’équation y — a+ 3 x* . faire x => x + h, et, en changeant y en /, cette équation

deviendra „ .

y' a -f- 3x a -f*6xA -f- 3/i a ;

donc -ÏJp = 6x + 3A ; égalant A à zéro, il nou3 vient h

fy- Çx : donc la différentielle cherchée est dy=6 xdx. dx

7. Pour troisième exemple , cherchons la différentielle de y = ax 3 — à 3 : faisons x = x -f- h , et substituant nous avons

y = ax 3 -+• 3 ax*h -f- 3 axh* — b 3 j

donc

— 3ax* + 3axA -4- afc* ; h

passant à la limite on a

î^rsSax*.

QX •

Tel est le coefficient différentiel de la fonction proposée? la différentielle sera dy = 3ax“dx. •