Proposons-nous de trouver encore la différentiel!^ de

v — : effectuantla division, on trouve y^ni-f-x-j-x 0 ;

mettant x -f- h à la place de x, et y à celle de y, on obtient

y — 1 x -\-h + x* + ahx h* , et en ordonnant par rapport à h ,

y— 1 -f-x-f- a;a +( 2X +0^+^ > # donc 1 ...J

s= ax -f- * + A ;

DIFFÉRENCIATION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 5 % . dv

passant à la limite, on a donc la différentielle

de est (ax -f* O dx.

g. Prenons encore pour exemple

y — (x* — aa*) (x* — 3a*) ; •

développant on a

substituant x + h à x et y' à y, et ordonnant ensuite par rapport à h , il vient

y =s X*— 5 a*x* + &a 4 -}- (4x 3 — î oa*x) h -f> (6x* — 5 a*) A* + 4xA 3 -f- /i*;

donc

-g : 4x 3 — î oa*x -f- (6x* — 5a*) h + ^xh l h 3 :

passant à la limite , on a

-g = 4x 3 - i oa*x;

et en multipliant par dx , on trouve que la différentielle est dy = (4x* — 1 oa 4 x) dx.

îo. L’expression dx est elle-même la différentielle de x; car soit^ = x, on a y -=zx h\ doncy' — y=h, et par

conséquent — ^ = i . Comme la quantité h n’entre pas h

dans le second membre de cette équation, on voit que pour

passer à la limite, il suffit de changer ^ en ce qui

donne -=£ = i ; donc dy = dx.'

On trouverait de même que la différentielle de ax est adx. Ai. 11 est à observer que quelquefois l’accroissement do

la variable est négatif ; dans ce cas il faut substituer x — h

à x , et opérer comme précédemment.

Ainsi pour trouver la différentielle de ax 3 lorsque l’accroissement est négatif, on remplacera x par x — -h, et l'on aura

y = ax 3 — 3 ax'h -{- Zaxh * — ah 3 ;

donc *

— 2. — — 3ax a + 3axA — ah * :

dy , .

passant à la limite, on aura^=— 3ax*, etpar conséquent

dy — — 3ox a dx.

On voit que cela revient à supposer dx négatif dans la différentielle de .y calculée dans l’hypothèse d’un accroissement positif.

12 . Avant que d’aller plus loin, faisons une remarque essentielle, c’est quedans une équation dont le second membre est une fonction de x, et que pour cette raison nous représenterons généralement par y~fx, si l’on change x en x -f- h, et qu’après avoir ordonné par rapport aux puissances de h on trouve le développement suivant

y = A -f - Bh -f- CA* -f- DA 3 -f- etc. ,

on doit toujours avoiry/= A. En effet, si l’on fait h~o, Je second membre se réduit à A ; à l'égard du premier membre, comme nous n’avons accentué y que pour marquer que y éprouvait un certain changement lorsque x devenait x-f -h, il faudra lorsque h sera nul , que nous supprimions l’accent de et l’équation ( 2 ) se réduira alors à

13. Ceci va nous donner les moyens de généraliser le procédé de la différenciation. En effet , si dans l’équation y =fx, dans laquelle on est censé connaître l’expression représentée par fx, on a mis x-f- A à la place de.x, et