On peut aussi obtenir entre x et y, une équation

qui ne contiendra point la transcendante arc ^tang =

mais qui renfermera des différentielles; pour cela, on différenciera l’équation qui est représentée par la formule io 3 , ou, comme cela se pratique, on emploiera le moyen suivant pour arriver à ce but : représentons toujours par F (u,t) =0 l’équation qu’il s’agit de transformer en une. fonction des coordonnées rectangulaires x et y ; nous venons de voir, art. 17g, que la valeur de i/tpouvait s’exprimer en x et eny^ , sans transcendante , mais q*u’il»n’en était pas de même de t ; c’est pourquoi nous chercherons d’abord à éliminer t entre F(t,u) = o, et la différentielle de cette équation , que nous représenterons par F (t,u d l, du) = o ; à la vérité, nous introduirons dans le résultat de l’élimination, les différentielles dt et du; mais ces différentielles pourront s’exprimer eri fonction des variables x,y, dx et

dy. En effet, les équations (tôt) nous donnent

cost=-,' sin t =z%.. . .

Divisant l’une de ces équations par l’autre , on obtient

si n t

ou tangf

cos t 0

différenciant , il vient

* dt xdy — ydx

CoTt X* "■ *

DE LA TRANSFORM. DES COORD. POLAIRES remplaçant — par sa valeur tirée de la première des équations (104) } et supprimant le diviseur commun x a , on

«*df =xdy — ydx,

trouve

et par conséquent

. xdv — ydr df = —

(io 5 );

et en mettant pour u sa valeur, cette équation devient

La différentielle de l’aulre variable se trouve encore plus facilement; çar l’équation (i 02) nous donne

cette équation étant différenciée , nous ayons

, xdx 4 -ydv d u~ ^

au moyen de ces valeurs de dt, de du et de u, on changera l'équation obtenue par l’élimination de t, en une autre qui ne contiendra plus que x, y, dx et dy, et qui par conséquent se rapportera aux coordonnées rectangulaires.

18 1. On a vu, art. 159, que la différentielle d'un arcz, rapporté aux coordonnées rectangulaires, avait pour expression '

dz= j/ dx a -J-d y*. . . . (106).

On peut se proposer de déterminer la différentielle du même arc, lorsque les coordonnées sont polaires ; dans ce cas, on substituera dans l’équation (106) les valeurs de dx etdedy, tirées des équations , . ,

x=ucost, et y = u sinf ,

laS * CALCUL DIFFÉRENTIEL,

et l'on trouvera , en différenciant ces équations ,

dx = — - u si n t . df -f- «as t du,

dy = «cost dt+ sinf du.

Élevant ces équations au carré , et réduisant à l’aide de la formule

V sin 3 t-j-cos i t = 1 ,

on obtiendra

• dz= [/ u 2 dt î + du*.

Telle est la différentielle de l’arc en fonction des coordonnées polaires.

Des sous- tangentes j sous-normales , normales et tangentes aux courbes polaires.

183. On sait que dans les courbes à coordonnées rectan- Fïg. 81. gulaires , la sous-tangente A t (fig. 81) est toujours comprise entre le pied P de l’ordoipiée et le point t, où une perpendiculaire Af à cette ordonnée vient rencontrer la tangente ; conservant la même définition pour les courbes polaires , où l’ordonnée n'est plus PM , mais le rayon vecteur AM , la sous-tangente sera alors la perpendiculaire AT, comprise depuis le point A jusqu’à la rencontre T de la tangente. La sous-tangente a donc une position différente dans les courbes polaires' que dans les courbes qui ne le sont pas j car dans les unes la sous-tangente est toujours comptée sur l’axe des abscisses, tandis que dans les courbes polaires, où cet axe n'existe pas , la sous-tangente varie déposition à chaque point de la courbe.

i 83 . Déterminons maintenant l’expression analytique de la sous-tangente dans les courbes polaires. Pour cet effet, Kg. 8a. soient AM et AM' (fig. 82) deux rayons vecteurs , et du point M menons la perpendiculaire MP sur le rayon vec-

S 0 US-TAN 6 . , etc,, AUX COURBES JPOLAÏRES. 127 teur AM', et, à cette perpendiculaire, menons la parallèle AT ; les triangles semblables ATM', PMM' nous donneront J a proportion .

pm': pm : : am':at-,

d’où l’on tire

AM'XPM