AM' X PM

dans le cas de la limite, l’aire du triangle AM'M (fig. 82) devient celle d’un secteur élémentaire , la perpendiculaire PM peut être remplacée par l’arc MN , que nons avons trouvé égal à uùt, et AM' se réduit à u. Substituant ces valeurs dans l’équation précédente, nous trouverons

aire du secteur élémentaire = — — .

RAYON DE COURBURE DES COURBES POLAIRES. 1 Qg On peut aussi exprimer le secteur élémentaire en fonction des coordonnées rectangulaires , car en mettant dans cette équation les valeurs de u et de d t , données par les équations ‘Jôa et io5 elle devient

aire du secteur élémentaire ~

De la détermination de 1 expression du rayon de courbure dans une courbe polaire.

i86. Nous avons donne, art. i.}ç), l'expression du rayon de courbure , rapportée & des coordonnées rectangulaires ; en nous réservant la inculte' d’affecter celte «pression du signe qui rendra y positif, nous l’écrivons ainsi r .

dr*

Pour avoir cette valeur dé y exprimée en fonction des coordonnées polaires , il ne s’agit que d’éliminer les coefficicns différentiels qui entrent dans cette impression , au mojfen des équations suivantes :

r=ucosi, j = «sint; ^

différencions ces équations, et divisons ensuite les résultats l’un par l 'autre , nous obtiendrons

dr du sin t -+• u cos tdf

tir du cos t — u siu tdt ’-

représentons par m et par n les deux termes de celte fraction , nous an-

et par conséquent t

m =vlu sin t -f- « cos tdt n = du cos t — u sin tdt

dp m , .

£ = (tôt*),

dy> m* dr” — ~n‘~

|... (to8; ;

Au moyen de cctu équation on trouve, pour le numérateur de U

j 3 o calcul différentiel;

▼a leur de y,

devant chaque terme de. celte fraction & la puissance - , et observant

que la puissance - de n’ est n 1 , on a

(nM-m*)®

ri>

différenciant ensuite l'équation (109) nous trouverons

d'y ndm — mdn dx ~~ n*

divisant le premier membre de cette équation par dx, elle second par n, qui équivaut A dr, nous aurons

djy

ndm — m dn n 3

... (Mi).

An moyen des valeurs données par les e'quations (tio) et (lit), l’équation (ioy)devient

fit * -b m 1 )* * ndm — mdn

(ni).

Il ne s’agit plus que de transformer celte équation en une fonction de t et de u. Pour cet effet , on déterminera d'abord la valeur de n* + m», en ajoutant les carrés des équations (108); et en réduisant à mesure, an moyen de l’équation siu’rH-cos*r = t , on trouvera

n* <+• m* = du' -f" u*dt> . . . (t i 3 ).

A l'égard dn dénominateur de l’équation (lia) , nous différencierons successivement les équations (108) en traitant dt comme constant ; et multipliant respectivement les résultats par n et par m , nous trouverons

ndm as nd*u sin t •+• andu cos tdt — «usin tdt*, mdn = md’ucos t — amdu sin tdt — mu cos tdt’ ;

la seconde équation étant retranchée de la première , nous trouverons

ndm — mdn — d»u(n sin t — m cos t) adiidtÇn cost-f- m siot) — udv (n sint — meott)

DES COURBES TRANSCENDANTES. l3 4

multipliant la seconde des équations (107) par sin t et la première par c °s t , et les retranchant l'une de l’autre, et réduisant au moyen de la relation «n*t -f- co»*t = 1 , noua obtiendrona

n tint — m cos t =— ud/.

Opérant d’une manière analogue pour former la râleur de ncost+mainf nous trouverons *

n cos t -f. nt ain t = du.

Substituant ces Valeurs dans l’équation (114), cette équation deviendra

nd«~-mdns= — pd**dr4.ad«»dr-f.w>dr>... (,,§).

An moyen des valeors que nous venons de déterminer, les équation* t . fi) et (ti 5 ) changeront l’équation (tu) en *

— (du’-f-usdt 1 )*

* — adu’di — ud'udt -f u*dti‘

Des courbes transcendantes*