AM

Remplaçant le rayon vecteur AM par u , et AT par l’exii’d(

pression que nou*avons trouvée, art. i83, pour la sous* tangente d'une courbe polaire, nous aurons

tangAMT, ou a=~ :

du

d’où nous tirerons

aàu ,

— ~ = d{... (i îS) ;

ôt en intégrant, nous trouverons •

a log u = t -f- constante.

Soit e la base du système Népérien ; si l’on regarde a. comme le logarithme . de e, dans un certain système de. tables , on pourra remplacer a par Le , et alors Le log u représentera le logarithme de u dans ce système (*) ; de sorte que nous aurons

Lu = t -f- constante.

190 . On peut construire la spirale logarithmique par points de la manière suivante : ayant partagé la circonférence.

OO'O" (Gg. 83) en parties égales , on mènera des rayons aux Fig. 83^ points de division, et sur ces rayons on prendra les parties

(*) Pour le démontrer , soit e la Hisc du système Népérien; nous aurons u = e io * 1 “; prenant les logarithmes dan, le système des table*, indique par L , nous aurons

Lu = h (e l °f “) =5 log «Le,

Am , Am', Am", Am*, etc. , qui soient en progression géométrique; les points m, m', m", m", m*', etc., appartiendront à une spirale logarithmique. En effet , en supposant que les parties mm', m'm“, m"m", etc. , aient très peu d’étendue , on pourra les regarder comme des lignes droites » et alors il sera facile de prouver qtife les triangles A mm', Am'm", A m"m", etc., sont semblables; en effet, les angles en A sont égaux par construction , et les angles mm' A , m’m" A, m"m"A, etc. , le sont par la propriété principale do. la courb™ nous avons donc cette suite de proportions :

Am ; Am' ;; Am' : Am*, Am': Am* Am* t Am*,

etc. , etc. , etc. ,

ce qui nous montre que les ordonnées Am , Am', A m\ Am", etc. , sont en progression géométrique.

igi. Dans la spirale logarithmique , ta normale est égale an rayon Je courbure. En effet, l'expression de ce rayon, dans une courbe polaire, étant, tus. 1 80,

(du* - f- u*dt a )‘

* adu^dr — ud’udt -4- u*di* ’

il faudra, dans cette formule, mettre les valeurs de ductded'u tirées de l'équation de la spirale logarithmique; or, l’équation (116) nous donne

, ude du — , a

udtV

substituant Ces valeurs dans celle de y, nous obtiendrons

, = fer) , = (E + ..)î= v /= + .-.

D'une antre part, si dans l'expression de la normale, qui est, art. 18$

du*

dT»'