DE LA SPIRALE LOGARITHMIQUE

nous substituons la valeur (le , noos trouverons de même \/ — -+- u* ,

dt’ va’ ~ •

ce qui prouve que la normale est égale , dans cette courbe , à son rayon

de courbure; et comme bailleurs il est dirigé suivant cette normale,.

art. 1 55 , il en résulte que ces lignes se confondent.

19a. Cette propriété va nons fournir les moyens de démontrer que la

développée de la spirale logarithmique est une autre développée. Pour

cet effet , le point N de la normale étant considéré comme appartenant an

rayon de courbure, et se trouvant à son extrémité , est sur la développée. •

Soient t' et u' les coordonnées de ce point N (fig. 84 ), il sera facile de F‘S- &}

les déterminer en fonction des coordonnées t et u du point M de la courbe ;

car soit 00' un arc de cercle décrit avec un rayon égal à l’unitc ; les

abscisses des points M et N différeront entre elles de cet arc , qui , k

cause que i’anglo'MAN est drojt , sera égal au quart de la circonférence ;

si en adoptant la notation usitée , nous représentons par - le quart de

la circonférence décrite avec l’unité pour rayon, nous aurons l' — t -f- ^ , équation qui étant différenciée, nous donnera dt — dt'.

D’une autre part , l’ordonnée polaire u' du point N de la développée

étant égale A la sous-normale de la spirale logarithmique, nous chan-

gérons — en u', dans l’équation de cette courbe, et nous trouverons

u = au', et par conséquent du = «du'. Substituant ces valeurs de dt , de du et de u dans l’équation (116) de la spirale logarithmique , nous trouverons .

du' , , a -j = df'.

équation qui étant de même forme que la précédente , nous apprend que la spirale logarithmique a pour développée uae autre spirale logarithmiques

De la spirale hyperbolique et des spirales comprises dans l! équation u = al".

ig3. La propriété caractéristique de la spirale hyperbolique est d’avoir une sous-tangente constante. Si nous représentons cette sous-tangente par a, nous en égalerons la.

l5S CALCUL DIFFÉRENTIEL.

■valeur à celle de la sous-tangente (art. 1 83) dune courbe polaire, et nous aurons , pour l’équation de la spirale hyperbolique ,

nous prenons ia constante a négative parce qu’ alors on a

du d t

équation qui étant intégrée donne

ou en remplaçant la quantité indéterminée C par une autre . , C'

quantité — , nous aurons.

prenant l’origine des t de manière que l’abscisse t-f- C soit égale à une nouvelle abscisse t , l’équation précédente de-., viendra

ou plutôt

ce qui montre que lorsque t =0 , u = oo; d’où il suit que le rayon vecteur , qui répond au point où t est nul , est une asymptote à la courbe.

>g4- L’équation (117) nous montre encore que le rayon

vecteur est en raison inverse de l’abscisse ; si nous faisons

successivement t—i-x, f— ^ t=6x, etc., nous aurons cette

suite de valeurs pour u , — etc.; ce qui nous ap-

2T qT •

DE LA SPIRALE HYPERBOLIQUE. l 3 j

prend qu’au bout de deux révolutions le rayon vecteur est réduit à moitié de ce qu’il était à la fin de la première, qu’au bout de trois révolution* il est réduit au tiers, et ainsi de suite.

i g 5 . L’équation de la spirale hyperbolique , comme celle de la spirale de Conon, sont des cas particuliers de l’équation u = at n ; car en faisant n = 1 et a = — . on obtient la

première, et en faisant n = — i , on obtient la seconde. Parmi les spirales déterminées par cette équation , on distingue encore la spirale parabolique , qui se trouve en faisant n b a. ,

De la logarithmique.

î qÇ. La logarithmique estune courbe à coordonnées rectangulaires , dans laquelle l’abscisse est le logarithme da l’ordonnée j l’équation de cette courbe est donc

d’où l’on tire et par conséquent

*= ,o sy >

£ =3ûl# *“-

Ï 97. Pour discuter cette équation , faisons x = o ; nous trouverons y — 1 ; si l’on donne ensuite des valeurs croissantes et positives à x , y ira toujours en croissant mais si l'on donne à x une valeur négative — u , on trouvera

y =za~ u et l’on voit que l’ordonnée diminuera d’au-

tant plus qu’on s’écartera de l’origine, dans le sens des abscisses négatives, et qu’enlin la courbe ne pourrait atteindre le prolongement de l’axe des xqu’à l’infini, cas où

>38 CALCUL DIFFÉRESITIEt.'

l’équation^ = — deviendrait y=~= o ; d'où l’on pe«t

conclure que le prolongement de l’axe de* x est une asymptote à la courbe.

198. Si, à partir de l’origine, on prend des abscisses Fig. 38 . égales (Cg. 38 ), AP = u, AP'== — it, on trouvera

PMs=û«, donc PMxW=i.

xgg. La propriété la plus remarquable de cette courbe ,

est que la sous-tangente a une valeur constante. En effet ,

' l’équation de la logarithmique étant différenciée , nous donna

dy , j, y . a x dx 1

— = a*loga, dou nous tirons — = — = = , ou

d.r 0 dy loga

yd.r x . .

" - ■ Ur , le premier membre de cette équation

exprime la sous-tangente de la courbe , art. 69 ; donc cette sous-tangente est constante.

De la cycloïdé.

soo. La cycloïdé est une courbe qui est décrite par le • Pig. 39. mouvement d’un point M (Eg. 3 g), situé sur la circonférence d’un cercle qui roule sur une droite RC. Il est certain que dans ce mouvement de R en C , tous les points de l’arc RM viendront successivement s’appliquer sur la droite RA , jusqu’à ce que M , à son tour , s’y applique en A ; par conséquent l’arc RM sera égal à la droite RA.

Tous les points par lesquels passe le point M, dans ce mouvement, étant, par hypothèse, sur la cycloïdé, le point A sera aussi sur cette courbe. Prenons-îe pour origine des abscisses, et abaissons la perpendiculaire ME sur le diamètre BR, .et faisons AP = PM=j», BRs=2« ; ,

DE LA CŸCLOÏDE. • arc MR = z, ME z=t u ; noua aurons

AP =z AR — PR,

x = arc MR — ME ,

Nous chercherons d’abord à éliminer l’arc z de la manière suivante : nous diflférençierons l’équation précédente, ce qui nous donnera

dx=dz— -du... (119).

Pour avoir la valeur de dz en fonction de u, nous observerons qu’entre u et z nous avons la relation

^ u, — sin z.

Cette équation étant différenciée , art. , on trouve

cos z

du = dz

d’où Fon tire

a adu

cos z

Il faut remplacer, dans cette équation, la valeur de cos z par celle que nous donne l’équation

sin a z -j- cos’z = <2%

ou plutôt ,

u* -}- cos’z = a’,

et l’on obtient

adu

dz:

Substituant tefte valeur dans l’équation (1 19) il viéfti adu

dx =

■ du. . . (lao);

il ne s’agit plus que d’exprimer u en fonction "de y. Pour

1^0 CALCUL différentiel;

^'£- %• cet effet, soit O le centre du cercle générateur BMR (Gg 3 ;)}, nous avons

OE = v/Mü a — ME% ou

a — y = ^ a* — u *. . . (i ai).

Elevant cette équation au carré , et réduisant, on en tireu —yo.ay — y\ ... (122), ,

et en différenciant ,

d»=ip^Ê=...< la 3).

V aay — y*

Les équations (i ai) et(i 23 ) transforment l’équation (lac) eiu

dl= __^=

vza-y—y 1

réduisant , on trouve

dx = -— ===,

V*ay— y ..

telle est l’équation de la cycloïde.

aol. On peut encore obtenir l’équation de la cycloïde en-. fonction de l’arc, ainsi qu’il suit : l’équation k = sin a donne

z = arc (sin“ u)i

mettant pour usa valeur tirée de l’équation (122), on a a — arc (sin= >/ a ay — y' 1 ) ;

cette valeur et celle de u étant substituées dans l'équation (i 18), on a

x =arc (sin= ]/ aay — y) — [/a ay — y (*)... (ia4) 4

( * ) Le sinus ici correspond au rayon a ; celui des table* , ayant l’ unité pour rayon, serait.

V /aay — y*

(a — y) dy

ydy

DE LA CYCLOiDE. l4*

202. tour discuter cette équation , on va prouver d’abord quey'^; peut être négatif, ni plus grand que 2a. En effet, si l’on fait y— — y, l’expression arc (sin — \/ aay — v 2 ) devient arc (sinp= \/ — 2 ay' — y'*), valeur imaginaire. En

■second lieu , si l’on fait y — 0 . a-f-tî', l’expression

arc (sin = \/ vay — y) devient arcfsin^V/ — auJ’— J“), valeur imaginaire; donc, si à une distance EF — 2a de l’axe des ay on mène (Gg. 40) AB parallèle à CD, la courbe sera F; g . ^ 0 , comprise entre les parallèles CD et AB.

La plus grande valeur que puisse avoir y est 2a; car si l’on fait rouler le cercle générateur de A en C (Gg. 40 , le Fjg point M , qui était d’abord en A , s’élèvera successivement jusqu’à ce qu’il arrive en B, à l’extrémité du diamètre BD.

Alors l’abscisse AD sera égale à DEB, c’est-à-dire à la demi-circonférence du cercle générateur.

Ce résultat est conforme à celui qui nous est donné par l’équation (124), puisque si l’on fait y = a«, on trouve x = arc (sin = 0); or, l’arc dont le sinus est nul doit être l’un des suivans :o, DEB, 2DEB , 3 DEB, etc., et l’on, voit que , dans le cas présent, cet arc est DEB.

Le point M , parvenu en B , ayant donc décrit l’arc AB de cycloide , si ce point continue à se mouvoir , il décrira un second arc BC , semblable au premier ; enfin , si le cercle générateur continue toujours à -fouler sur l’axe des abscisses, le point M engendrera une suite indéGnie d’arcs de cycloide CB'C" (Gg. > C"B''Ç*, etc. Le cercle générateur F; g , 4, ' pouvant aussi se mouvoir dans le sens de A vers A", le point M décrira encore une suite indéGnie d’arcs AB' A',

A'B''A", etc.

Si l’on voulait introduire ce sinus , il faudrait écrire

l/fa CALCUL DIFFÉRENTIEL.

C'est l’assemblage de tous ces arcs qui , dans !• sens la plus général , constitue la cycloïde.

ao3. La normale an point M, dont les coordonnées sont Fig. 43. x et y (Gg. /f3) , est déterminée , art. 70 , par cette formule :

normale

si dans cette formule nous mettons la valeur de , tirée de l’équation de la cycloïde , nous trouverons

normale ~ y — + 1 — V a oy*

Fig. p. Pour construire cette valeur, menons la corde MD (Gg. 43)* nous aurons

de : md :: md : db ,

ou *

y : JKD :: MD : a a; donc la corde MD == [/ a ay ;

et comme, par la propriété du cercle, l’angle BMD est droit , la corde MB sera perpendiculaire à l’extrémité de la normale MD ; donc la corde MB prolongée est tangente aü point M de la cycloïde ; car on sait que la tangente et la normale forment entre elles un angle droit.

. On pourrait donc construire la tahgente au point M, en décrivant le demi-cercle générateur BMD, et en prolongeant la corde BM ; mais pour n’avoir pas à construire ce cercle générateur à chaque point de la pourbe , il suffira de construire le demi -cercle générateur sur la plus grande Fig. 44- ordonnée BD (Gg. 44) de la cycloïde j et ayant mené par le point donné M , la perpendiculaire ME sur BD , on tracera la corde BC ; alors la parallèle MT à cette corde sera la tangente demandée : c’est une suite de ce qui précède.

DE LA CYCLOÏDE. lfê

204. Pour avoir l’expression du rayon de courbure de la cycloïde, il faut, de l’équation de cette courbe , déduire

les valeurs de & et dg , que nous substituerons dan» l’expression du rayonne courbure , art. i5o,

»= dv— •

dx*

et dans laquelle nous adoptons le signe négatif, parce que nous savons quela courbe tourne sa concayité vers l’axe des x. L’équation de la cycloïde nous donne d’abord

. . (ia5).

Pour obtenir faisons ^ = p; nous aurons donc aussi dx 1 dx r

et en différenciant , art. 23 , nous trouverons

dp:

ad\

donc

Vv - 1

y y/ 2 ay — y“

multipliant cette équation par l’équation (ia5) nous obtiendrons, art. 2^,

au moyen de ces valeurs , on a enfin

\y/ (aa)* , a* a*

y = - jZ "=— Î-— — T"'

et en faisant passer y au numérateur, •

3X1 lli

y = a 1 a 3 = 2 . 2* a 1 y* =2 V/ëay ;

Fig- 45. donc le rayon de courbure MM' (fig. 45) de la cycloïde, * est double de la normale MR.

ao5. On obtiendra l’équation delà développée en substituant les valeurs de ^ et de dans les formules, art. 1 49 » dx clr

dx*

d’ 1 y dx*

et l’on trouvera

dx*

ay, x-*-«= — aj/aay — y*/

fl=-+y, *=x+ al/aay— y*.

Fig. 4 G. ou (fig. 46 ),

QM'=MP, « = AP + aMEj

DE LA CYCLOÏDE.' l45

et en observant que AP -{- ME = AR = arc MR , la dernière équation peut s’écrire ainsi :

« = arc MR -f- ME. . . (126).

Prolongeons BR, et prenons RL = BR = 2a, et sur RL décrivons la demi-circonférence RM'L ; cette demi-circonférence passera par le point M', à cause des cordes égales M'R et MR , et l’on aura

arc MR = arc M'R et ME = M'E' ; substituant ces valeurs dans l’équation (126), on trouvera « = arc M'R + M'E';

donc ,

«=arcM'R-f- \/ aafl — /S 1 ... (127).

Telle est l’équation qui existe entre les coordonnées AQ = * et QM' = ,S d’un point M' de la développée. Prolongeons maintenant (fig. 4 ^) l’ordonnée D = sa d’une Fig 46 quantité DA' encore égale à 2a, et par le point A' menons la parallèle A'D' à AD, et transportons l’origine A au point A'. Pour cet effet, soient A'Q' = «', Q'M' i=fl'\ nous avons pour l’abscisse