I>C CHANGEM. DE LA VARIABLE INDÉPENDANTE
à laquelle on veut appliquer cette formule j c’est aiiui que, lonou’ou a Ja formule * “
dy*
clr
dx*
dx *
et qu’on demande ce qu’elle devient lorsque la conrbe est une parabole on tirera de l’équation y = nx» de la parabole, les valeurs de c \
de £’ <IU ’ 0n Substiu,era dans cetle formule, et alors les coelEciens différentiels en disparaîtront. Si l’on regarde g et comme de» inconnues , il faut en général deux équations pour les éliminfé d’une for mule, et ces équations nous seront données en différenciant deux fois de suite l’équation de la courbe.
ao8. Lorsque, parles opérations de l’Algèbre, les dx ont cessé d’e'tre sous les d y , comme dans la formule suivante,
dx
y(dx» -f- d y*) dx* -f- d y* — yd'r' ' '
la substitution s’opère en regardant dx, d r et dy comme des inconnues ; et puisque pour les éliminer il faut en général un pareil nombre d équations, il ne semble pas d’abord que l’élimination puisse s’effectuer, parce que la différenciation de l’équation de la courbe ne peut nous procurer que deux équations entre dx, dy et d'y-, mais il faut remarquer que lorsqu’au moyen de ces deux équations on aura éliminé djr et d’y, il se trouvera dans la formule un facteur commun dx* qui s évanouira. " *
Par exemple si la courbe est toujours une parabole représentée par
y = ux., en différenciant deux fois de suite cette équation, on obtiendra * 9
dy = 2 axdx, d*y = aadx» j
ces valeurs étant substituées dans la formée (, a8) , on obtiendra après avoir supprimé le facteur commun dx* , ’ “
+ 4 a*a* — 3 ajr'
nog. La raison par laquelle dx’ devient facteur commun est facile k saisir j car, lorsque dans une formule qui contenait primitivement
dx»
l/fi CALCUL DIFFÉRENTIEL.
,jy*# # d a V
cl — , on a fait disparaître le dénominateur de - — , tous les termes , - tix tlx a
hors ceux en y— j et en — , ont dû acquérir le facteur commun dx 1 j
alors les termes qui étaient affectes de y— ^ , ne contiennent plus dx" ,
dr
tandis que les termes qui étaient affectés de j— renferment dx au premier degré, car le produit de jy" par dx* se réduit à dydx. Lorsqu’on différencie ensuite l’équation de la court»;, et qu'on obtient des résultats
de la forme dv — Mdx , <l ‘y =: Ndx a , ces valeurs étant substituées dans les termes en <l a y et en il/dx , les changeront, comme les autres termes en des produits de dx 1 .
310. Ce qye nous disons d'une formule qui contient les différentielles dos deux premiers ordres pouvant s’appliquer à celles dans lesquelles ces différentielles s'élèvent à des ordres supérieurs, il suit de là qu’en différenciant autant de fois qu’il sera nécessaire l'équation delà courbe, on pourra toujours chasser de la formule proposée les différentielles qui y sont contenues.
si i. Il n’en serait pas de même si , outre les différentielles que nous venons de considérer , la formule contenait des termes en d a x, en d'x, etc. ; car, supposons, par exemple, qu’il entrât dans cette formule les différentielles suivantes, dx, dp, d a x , i\‘y, et qu’en différenciant deux fois de suite l’équation représentée par y — fx , on en tirât ce» équations :
F( r tX> d J>‘ ,;r ) = °> r(x, r ,dx,d/,d*x,d>jr) = o,
on lie pourrait avec ces deux équations , éliminer que deux des trois différentielles dr, d a :r, d’y, et l’on voit qu’il serait impossible de faire disparaître toutes les différentielles de la formule 5 il y a donc, dans ce cas, une condition tacite exprimée par la différentielle d # jrj c’est que la variable x est elle-mérae considérée comme une fonction d’une troisième variable qui ne paraît pas dans la formule , et qu’on appelle la • variable indépendante ; cela deviendra manifeste, si l’on fait attention que l’équation y pourrit dériver du système des deux équations
* = F t, y=pt,
entre lesquelles on aurait éliminé t ; c’est ainsi que l’équationjcscp—
revient au système des deux équations
x == ht + c , y — al',
DU CHANGEM. DELA VARIABLE INDÉPENDANTE. l^g
•l l’on conçoit qnc x et y doivent varier en vertu de racornissement que t peut recevoir; mais cette hypothèse, que x et y varient d’après l’accroissement donné à t , suppose qu'il y ait des relations entre x et t , et entre y et t; l’une de ces relations est arbitraire, car l’équation , que nous représentons en général par y —fx , étant, par exemple,.... •
r = fl ■ — : , si l’on établit entre t et x la relation arbitraire x = — ,
/ • , fr — c) *
cette valeur étant mise dans l’cquation y=a - — — — , la changera en
y = a - — ^ ■ , équation qni, étant combinée avec celle-ci , x = — ,
(jf c)*
doit reproduire par l’élimination, y = a ■ — — , seule condition à la-
quelle on doive avoir égard dans le choix de la variable t.
ata. On peut donc déterminer arbitrairement la variable indépendante (. Par exemple , on prendra la corde , l’arc , l’abscisse on l’ordonnée pour cette variable indépendante ; si (représente l’arc de la courlie, il faut que l’on ait ( = \/ dx* -+- dy’ ; si ( représente la corde, et que l'origine soit au sommet de la courbe, on aura t= \/ x‘ +y ’ ; enfin, t pourrait être l’abscisse ou l’ordonnée, et l’on aurait alors t—x, ou
ai 3. Le choix de l’une de ces hypothèses on de tonte antre, devient indispensable pour que la formule qui contient des différentielles, puisse en être délivrée; si nous ne le faisons pas loujour#, c’est que n#is supposons tacitement que la variable indépendante été déterminée. Par exemple , dans le cas le plus ordinaire où une formule ne contient que les différentielles <l.r , dy, d’y, d’y, etc., l’hypothèse est que la variable indépendante ( a été prise pour l’abscisse , car alors il en résulte
dx d’.r
t = x, Tt = ., jp, =0,
Üf
= o , etc. ;
et l’on voit qnc la formule no doit pas renfermer des différentielles secondes , troisièmes , etc. , de x. 4
ai 4- Pour rétablir la formule dans toute sa généralité, il faut, d’après ce qui précède, que x et y soient des fonctions d’uuc troisième variable indépendante (; et que l’on ait, art. a4,
| 5 o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
oa tire de cette équation
dr dr dt
prenant la différentielle seconde de y , et opérant sur le second membre comme on le fait pour les fractions, art. 19, on trouvera
dr d’y dr d’.r
d’y dr or dr dr
dr dr’
dî»
Dans celte expression , dt a deux usages ; l’un est d’indiquer quelle est la variable indépendante t, et l’autre d’y entrer comme signe d’AIgè'.uc. TSous pouvons ne considérer dr que sons le second rapport, si nous ne perdons pas de vue que t est la variable indépendante; alors supprimant dt’ comme facteur commun , l’expression précédente se s'unpliiicra en écrivant
d’y drd’ y — di-d’r dT — dr’ ’
et en divisant par dr , elle deviendra
^ # dy drd’y — d yd’x
dr’ dr J
ai 5 . Kn opérant de même sur l’équation (129), on voit qu’en prenant* pour variable indépendante , le second membre de l’équation devient identique au premier; par conséquent, lorsqu’on prend t pour variable indépendante, on n’a qu’un seul changement îi faire dans la formule qui
contient les cocIBcicns différentiels ^ et c’est de remplacer ce
dr dr»’ 1
second coefficient différentiel par
drd’y — dy d’r dr 1
Pour appliquer ces considérations au rayon de courbure qui , art. t86, est donné par l’équation
dy , '\ï
DU CHANGEM. DE LA. VARIABLE INDÉPENDANTE. l5f
si l’on veut avoir la valeur de y , dans le cas oii t serait la variable indépendante , on changera cette équation en
^ dxd’r — dyd>r’
* , , (dx*-f-dy’y
et en observant que le numérateur revient à fax — , on aura
(dxs-f-dy»)*' (lad ’y — dj^da
ai G. Cette valeur de y suppose donc que x et y soient des fonctions d’une troisième variable indépendante ; mais si x devait être cette variable, c’est-îl-dirc si l'on avait t — x, on aurait d*x — o , et cette formule retomberait dans le cas ordinaire en redevenant
fd x»4- dy») ‘ dxJ’y
dx*
ÎI7. Mais si, au lieu de prendre x pour la variable indépendante, on voulait que l’ordonnée fût cette variable indépendante, cette condition serait exprimée par l’équation y=xt, et en différenciant deux fois de suite cette équatiou, on auiait
La première de ces équations nous dit seulement que y est la variable indépendante, ce qui ne change rien J> la formule ; mais la seconde nous montre que d’y doit être nul , et alors l'équation (t3o) se réduit i
(dr.-f-dr*) *
dpil’I
Oi8. Il est K remarquer que lorsque x est la variable indépendante, et que l’on a par conséquent d*x = o , cette équation nous dit que dx est constant ; d’où il suit qu’en général la variable , qui est regardte comme indépendante , a toujours une diifércnliclle constante.
1 5 a CALCUL différentiel;
aig. Enfin, si l'on prend l’arc ponr variable indépendante, on aura
dt — y/ dx* -+. dy» ;
devant an carre' et divisant par dt», cette équation noua donnera
dx*
dF
dy*
différenciant cette équation , nous regarderons , art. 218, dt comme constant , puisque t est la variable indépendante j et en opérant d’après la règle des expiosans , nous tronverons
d’où l’on tire
sdxd»x . adyd»y
-ajr- + ^ z =°i
dxd'x = — dyd*y ;
par conséquent, si l’on substitue la valeur de d’x ott celle de d'y dan» l’équation (l 3 o , on aura dans le premier cas,
(dx»-f-dy*)*
y (dx»+dy\)d*y) *'
{/ (d,r » -f- dy*) j d*y **
et dans le second cas .
„ = - dy = -
1 (dx* 4- dy») d*x J
y/ d.r J -t-dy’ d’x
220. Dans ce qui précède , nous n’avons considéré que les deux coelfi-
cicns différentiels al , ^ : mais si la formule devait contenir des coef-
dx dx*
ficiens différentiels d’ordres plus élevés, il faudrait, par des moyens
analogues A ceux que nous avons employés , déterminer les valeurs da
J — - île etc., qui se rapporteraient au cas ou x et y sont des lonc-
tions d’une troisième variable indépendante.
De la méthode des infiniment petits.
23t. Xes notions que nous avons de l’infini se réduisent à cette proposition : Une quantité n’est pas infinie lorsqu’ello
Diaitized bv Goc
DE LA MÉTHODE DES INFINIMENT PETITS. l53
est susceptible d’augmentation. ^Par coniéquent , si l’on a * + «, et que x devienne infini , il faut supprimer a , autrement ce serait supposer que x peut epcore s’augmenter de a , ce qui est contre notre définition.
ans. Cette proposition étant fondamentale , j’ai cherché à la démontrer d’une manière plu» satisfaisante , comme if suit. Soit l'équation •
en la multipliant par le produit ax , on obtient x -f ■ a = Max. . . (i3a).
Cela posé, supposons que x devienne infini, la fraction — ayant atteint son dernier degré de décroissement, se ré-
doit évidemment à zéro; alors l’équation (i3i) deyient
Cette valeur étant substituée dans l’équation (i3n), oii obtient
ce qui montre que quand x est infini x + a se réduit à x.
223. La quantité a , à l’égard de laquelle x est infini , est ce qu’on «ppeile un infiniment petit , par rapport à x.
224 . Comme nous ne considérons ici que les rapports des quantités , la démonstration précédente a lieu lor» même que x a une valeur finie, pourvu seulement que x soit infiniment petit par rapport à x. La théorie des fractions va nous servir encore à rendre sensible cette vérité, pn effet , si l’on compare la quantité finie b à la fraction
-, il est certain que plus te dénominateur z augmentera, z
plus la fraction diminuera ; de sorte que quand , z deviendra infini, cette fraction deviendra absolument nulle ; et, comme telle, devra être supprimée devant b, qui alors sera infini à
l'égard de -,
aa5. Quoique deux quantités soient infiniment petites , il ne s’ensuit pas que leur rapport soit nul ; car
On sent d’ailleurs que deux quantités infiniment petiies peuvent se- contenir comme deux quantités très grandes j ainsi , en représentant deux quantités infiniment petites par
\ * dv
d.r et par dv , il suit de là que leur rapport -£• ne sera pas
nul : résultat conforme à celui que nous avons obtenu par la considération des limite*!.
226. Lorsqu’une quantité x est infiniment petite, par rapport à une grandeur finie a , le carré x® est infiniment petit par rapport à x. En effet, la proportion
nou3 prouve que x 1 est renfermé dans x autant de fois que x l’est dans l’ unité , c’est-àrdire un nombre infini de fois. On démontrerait de même, à l’aide dfc la proportion x ; x* ” x® C x 3 , que x® étant infiniment petit par rapport à x , le terme x 3 doit être infiniment petit par rapport à x* ; c’est par cette raison qu’on a divisé les infiniment petits en différens ordres : ainsi , dans les exemples précédens , x est un infiniment petit du premier ordre, x“ est un infini- . ipent petit du second ordre , x 3 est un infiniment petit du troisième ordre ; ainsi de suite.
DE LA MÉTHODE DES INFINIMENT rETITS. 1 55
227. Observons que si x est infiniment petit par rapport à a , il en sera de même de x multiplié par une quantité finie b. En effet, x pouvant être considéré comme une fraction dont le dénominateur serait infini , on peut représenter
c c bc
x par — ; or, que l’on ait — ou — , ces quantités n'en
sont*pas moins nulles par rapport à a.
228. De même qu’un infiniment petit du premier ordre doit être supprimé lorsqu’il est à côté d’une quantité finie , qu’il ne peut augmenter , on doit effacer un infiniment petit du second ordre, qui serait à côté d’un infiniment petit du premier ordre ; ainsi de suite.
Par exemple , si l’on a cette expression
a-\-by cy 4 -f- dy 3 ,
et que y soit .un infiniment petit du premier ordre, ry 4 en sera un du second , et dy 3 en sera un du îroisième ; il faut donc effacer dy 3 , parce que dy 3 ne peut augmenter cy*; et comme cy 4 ne peut augmenter by, on l'effacera à son tour ; enfin , on effacera aussi by, puisque cet infiniment petit du premier ordre ne peut augmenter la quantité finie a, et il restera a.
329. Deux quantités infiniment petites a: et y, devient pour leur produit un infiniment petit du second ordre En • effet, du produit xy je tire la proportion
