y :: x: xy

ce qui m’apprend que puisque y est infiniment petit par ^rapport ài,xy sera infiniment petit par rapport àx, c’està-dire sera un infiniment petit du second ordre.

a 3 o. On prouverait de même que le produit de trois infiniment petits du premier ordre donne un infiniment petit du troisième ordrev

1 56 CALCUL DIFFERENTIEL.

a3t. Nou 3 pouvons maintenant expliquer la théorie de la différenciation , d’après la méthode des infiniment petits. Pour cet effet, si on suppose que dans une fonction de x la variable x prenne un accroissement infiniment petit, représenté par dr, en sorte que x devienne x-f-dx, la différence du nouvel état an premier, sera la différentielle de cette fonction.

23a. Par exemple, pour trouver la différentielle de ax , cette fonction devenant a(x-f-dx) = ax + adx, si on en retranche ax, il restera adx pour la différentielle.

a33. Cherchons encore la différentielle de ax 3 ; il faut donc de a(x-j- dx) 3 retrancher ax 1 ; développant et réduisant, on trouve d'abord 3ax’dx -f- 3axdx* -f- adx 3 . Cela posé, adx 3 étant un infiniment petit du troisième ordre, ne peut augmenter 3axdx a , par conséquent, on effacera adx 3 ; de même - 3axdx“, qui est un infiniment petit du second ordre , doit être supprimé , parce que 3ax a dx est un infiniment petit du premier ordre ; et il-restera 3ax ! dx pour la différentielle.

s34-. On différenciera, d’après le même principe, toute autre fonction de x , en ayant le soin de supprimer les infiniment petits des ordres supérieurs , ce qui se réduit à ne ’ coqagrver que le premier terme du développement, ainsi qu™ le.fait par la méthode des limites.

Par exemple , pour trouver la différentielle àefx , au lieu d’écrire

— l- — A + B* + Ch* -f-«etc. ,

qui, dans le cas de la limite, donne dx= Adx pour 14 différentielle, on aurait

/(x-f- dx) —jx -f- Adx -f- Bdx* -f- Cdx 3 + etc. ;