DIFFÉRENCIATION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES
qu’après avoir ordonné par rapport aux puissances de A on ait obtenu le développement suivant
y = A 4- BA 4 CA 1 4 DA S 4 etc. , ©u plutôt , d’après l’article précédent,
y =y + BA -f CA* + etc. ,
on aura
donc
y — y — Bh 4 CA* -f - , etc.;
4 CA 4 etc. ;
dy m
et en passant à la limite, ^=IJ. Ce qui nous apprend que
le coefficient différentiel est égal au coefficient du terme qui contient la première puissance de A dans le développement d ef(x-\-h) ordonné far rapport aux puissances ascendantes de h.
i4- Si au lieu d’une fonction 7 qui s’accroît en vertu d’un accroissement donné à la variable x, nous avons deux fonctions différentes que nous représenterons par 7 et par z, en .substituant dans ces fonctions x + hkx, elles deviendront y et z ' ; supposons qu’ayant ensuite ordonné par rapport à A , on ait . .
y —y 4 AA 4 BA* -1- etc. . . . (5) ,
7 ! =z 4-A'A4B / A , 4" etc * • • • ( 6 ) ; ‘ passant à la limite , on trouvera
è— A — -A' dx ’dx 8
multipliant ensuite les équations (5) et (G) l’une par l’autre, nous obtiendrons
s&y = zy4AzA4- 15zA*4 efc -
4 A'^A 4 AA'A" 4 etc.
4 By'A a 4 etc. ;
- a -y~~ z £ - = A'^ -f (Bs -f AA' + B'y) h + etc .7
passant a la limite, et indiquant par un point l'expression qui doit être différenciée., on obtiendra,
mettant au lieu de A et de A' leurs valeurs données par le^, équation ( 7 ), il nous vien *
àx
et en supprimant le divjseur commun dx, d .zy = zdy -f-ydz.
Ainsi pour trouver la différentielle d’un produit de deux variables, ilfaut multiplier chacune par la différentielle de l’autre , et ajouter les produits .
i5. Au moyen de cette règle on trouvera facilement la différentielle d’un produit de trois variables. .
Soit, par exemple, yzu : faisons yz = f, nous aurons donc d.yza = d.tn.
Or, .d’après ce qulprécède,
d.fw==idu-f-udt ( 8 ) ;
et- puisque tzzzyz, on a dt =±^ydz -f-zdy ; mettantdonc ces valeurs de t et de dt dans l’équation ( 8 ), elle se changera en d .yzu —yzàu -f- uydz -f- uzdy.
On voit que, la même règle subsiste encore pour un produit de trois variables, c’est-à-dire qu 'ilfaut écrire le produit yzn , et remplacer successivement chaque variable par sa différentielle , et ajouter ces produits.
1 6 . La même règle a lieu pour un plus grand nombre de variables.
sdy j .ydz
dx dx
TDigitteed by
DIFFÉRENCIATION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 9 17. Nous avons vu art. io, que la différentielle de ax était adx ; concluons que lorsqu’il y a une constante dans un produit, il suffit de différencier comme si la constante n’y était pas, et de multiplier ensuite par la constante.
Par exemple , on trouverait que 1 ? différentielle de axy est axdy -f- uydx.
18. Une constante n’a pas de différentielle; carsoity=flX 4 b , en opérant comme dans l’art. 7, on trouve dy = adx, résultat qui est le même que si l’on n’avait point eu la constante b.
yCJX“-— * xdv
iq. La différentielle d’une fraction - est- ■ — ^ :
car
supposons —= z, nous avons xx=yz-, donc, art. 14, dx
=yàz + zdy ; d’où nous tirons ydz = dx — sdy : mettait dans le second membre la valeur de z, il vient ydz 3= dx
— — d)' ; réduisant au même dénominateur ,
ydz
ydx — xdy
et enfin
, ydx — xdy , x ydx ■— xdy d z — *- — = 4 , ou d. — = * —
ao. Si dans l’équation à.yzuxxyzàu 4 y uc ls 4 zudy , art. 1 5 , on divise tous les termes paryzu , on obtiendra
En général , en divisant la différentielle d’un produit d’un nombre quelconque de variables par ca produit, ou trouvera
d.xyztu.etc. dx . dy . dz . dt , du . , .
— = h -d- -\ J-.— « — | , etc (0).
xyzfu, etc. x y ' z ’ t u
IO CALCUL DIFFERENTIEL.
Si x, y , z, t, u, etc. , sont égaux à x et en nombre m * on aura dans le second membre de cette équation un nombre t s dx
m de termes égaux à — - ; ce second membre se changera donc en — “ et l’équation (9) deviendra
et en multiplant par x”, on aura
d.x m = mi"“‘dj.
21. D’où l’on peut conclure cette règle : lorsqu’une variable est élevée à une puissance m , pour avoir la dijfé -> rentielle, il faut , 1°. changer l’exposant en coefficient; 2«. affecter la variable d'un exposant moindre dune unité; 3 °. multiplier ensuite ce produit par dx.
2a. Si l’exposant était fractionnaire ou négatif, la mémo règle aurait lieu. Pour démontrer ce premier cas , soit p
y =x' 1 ; en élevant les deux membres à la puissance q , on aura — x r ; donc, art. 21 , qyi~'dy = pxf ~' dx ; d’où l’on tire
iy= P -^di-,
J <ty
JT P
et comme x p ~‘ peut se mettre sous la forme — , et que de
yf
même y*~ ‘ — d - , en mettant ces valeurs , on a, d y = - — *^dx;
•t à cause de x? —y* , l’équation précédente se réduit à
dy=^^-dx;.
DIFFÉRENCIATION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. Il mettant enfin pourj' sa valeur, on obtient
dy = - — dx;
et en faisant passer le diviseur x en exposant, on a
dy = ?x’ J <7
dx ,
ce qui est la même chose que la différentielle de y=xx* qu’on aurait obtenue en faisant usage de fa règle n° 21 . Pour démontrer le cas où l’exposant est négatif, soit
y=x~f, ce qui revient ky—-~ p \ différenciant par la règle
des fractions, art. 21 , nous aurons
x p d. 1 — i.d.rE
dy:
x r X xt
Observant que l’unité étant une constante, sa différentielle est nulle, cette expression se réduit à dy =3 —
effectuant la différenciation indiquée, art. 21, on aura pxt~ ‘dx
ày — — ■
, et en retranchant l’exposant 2 p de
l’exposant p — », ih vient enfin dy = — px~ p ~ ’dx , comme on l’aurait trouvé en faisant usage de la règle du n° a».
23 . Si l’on remplace les radicaux par des exposans fractionnaires, la règle du n° 21 pourra donc servir à différencier ces sortes de quantités. Par exemple , pour trouver
la différentielle de \/z, on écrirâ z a dont la différentielle
«era JS *ds=-— pr , ce qui nous apprend que pour avoir uy a
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\1 CALCUL DIFFERENTIEL.
la différentielle de la racine carrée d'une quantité variable, il faut diviser la différentielle de celte quantité par le double du radical.
24. Quelquefois la fonction y' est la variable x ne sont pas données par une même équation. Par exemple, si l’on avait les équations yz=fu et u = çx, le premier moyen qui
se présenterait pour obtenir le coefficient différentiel
serait d’éliminer u entre ces deux équations, pour pouvoir y appliquer le procédé de la différenciation'; mais sans avoir recours à cette opération préliminaire , on peut obtenir im-
médiatement le coefficient différentiel^— : c’est ce qui va
être l’objet de la démonstration suivante.
Supposons donc que dans l’équation u=zçx, on mette x-\- h à la place de x et qu’alors u devienne u' =u-\- k , et qu’en substituant ensuite u -f- h à la place de u dans l’équatio ny-=zfu , lafonctiony devienne^/ ; si, en développant ces fonctions de u et de x par rapport aux puissances de leurs accroissemens , la substitution de à la place de x
dans Ja fonction u, nous donne
u' — u + qh -f- q'h a 4* q“b 3 4“ etc. ;
Et. que la substitution de u-+-k à la place de udans la fonction y, nous donne
f —y 4" ph + p 4-p“fc 3 4- et c. ; on obtiendra *
— q + q'h 4- q"h* + etc.
i • (iofc
^ = p +p'k 4- p“/d 4* etc.
Multipliant ces équations terme à terme , on aura ■ V ~ {p+p'k+p"k*+etc,) (j-H'A 4 - 9 *A*^;^Ï
DIFFÉRENCIATION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. l3
Le premier membre de cette équation peut se réduire ; car l’accroissement de « étant représenté par k, est donc
égal à u' — uf pâr conséquent au lieu de- ^ — — ?! .— - u nous
pouvons écrire'^— j—, et en mettant x — x à la place de h ; l’équation précédente devient
^,^ =(q-f < 7^+9"^ 1 + etc.)(p+p'ft+p' , Â 1 -+-etc.)...(i îj
Lorsque h est nul , k s’évanouit aussi ( puisque u n’a pris l’accroissement k que parce que x est devenu x -f- h ) ; par conséquent dans le cas ou A = o, qui est celui de lalimite, l’équation (1 1) se change en dy
Pour déterminer p et q , il faut supposer h et k nuis dans les équations (10) , et ces équations donnent dy du
- = P’dI- =<? ’
du
Substituant ces valeurs de p et de q dans l’équation (12) , on obtiendra
djr dj' du
dx dudx’
Ce résultat nous apprend que si l’on a deux équations y-=.fu e.tu = $x , et qu’on en tire les valeurs des coefficiens
différentiels ^ et ^ , il suffira de multiplier ces valeurs .
entre elles pour avoir celle de
a5. Si l’on a, par exemple, les équations y =3 3 u* et «= x 3 -j- ex 2 ) on trouvera
^ = 6u,^==3*» + a ux;
1 4 1 CALCUL DIFFERENTIEL,
donc en multipliant ces équations terme à terme on obtiendra *
dv
-f~ = 6u (3x* + a or) — S (x 1 -j- ar‘) (3x*+ aax). dx
s6. La formule (i3) est d’ungrand usage pour différencier des quantités compliquées; donnons-en quelques applications. i°. Cherchons la différentielle de y 3= [/ a* — x“; cela
se réduit à trouver le coefficient différentiel — Pour cet
dx
effet , faisons a * — x“= u, alors y = y/u — u* ; et les équations y =fu, et u — px, art. aj, sont donc représentées ici
par^ = n* et par u = a* — x*.
En différenciant ces équations, art. ai , on trouve
-a du
' x ) 'dï = “ 2XÎ
multipliant ces coefficiens différentiels entre eux, on obtient
donc
, — xdx ■' •'
dy= — ■ .--r-. y/ a 1 — x*
Soit encore^ = (a + bx m ) n -, pour trouver la différentielle,, faisons a + bx m — u, nous aurons les équations y — u* t u~a -j- ix m ; donc
^ = nu ” “ 1 = n (a + bx m ) bmx m ~ 1 ;
multipliant entre eux ces coefficiens différentiels, on obtiendra
— bmnx m ~' (a -f- ix m ) n
ÏHFFÉRÈNCIATÏON DES QUANTITÉS algébriques. l5 ay. Pour troisième exemple soit
supposons
donc
y=(a+ V / *0 4 -*“-05)/ Différenciant l’équation ( 14 ) nous avons
acxdx
du:
donc
l’équation (i5) donne
du 2C
dx x-* ’
du
ày — 4 (a yu) 3 à (a 4- s/u) = 4(a -f- [/u) s ;
€t en mettant pour u sa valeur, il vient
du
ar*
multipliant ces coefficiens différenciels entre eux on a enfin
èWEM
On pourrait prendre encore pour exemple y = (a -}- V et l’on trouverait ^ ^ ^
28. On a souvent à différencier la somme de plusieurs Fonctions d’une variable ; quoique , d’après ce qui précède * il soit évident que cètte différentielle est égale à la sommé des différentielles de ces fonctions j nous ne laisserons pas que de démontrer ce théorème;
Soit donc
y=/* + Fx-fp.r;
mettant x -f- h à la place de x dans ces fonctions, supposons que l’on ait
y —fx -+• Kh + k'h* -f etc. -4- Fx + B/i -f B 'h* -f etc. •j- <çx-\-C h-j- Ch 2 -f- etCi ;
on trouvera
y —y = (A + B + C) h + (A' -f- B' + -f etc. ; passant à la limite,
^ = A-f-B-|-Cetdy=: Adx -j- Bdx + Cdx.
Or A, B, C étant les termes multipliés par la premièré puissance de h dans les développemeiis de/(x-f-flf), dé TF{x+h') et de ç(x-f- 7 î), il en résulte que Adx -f- Bdat -f- Cdx représentent la somme des différentielles des fonctions proposées.
39. Nous terminerons ce qui précède par une observation, c’est que des expressions qui ne diffèrent que par des termes Constans , ont la même différentielle. •
Ainsi mx + nx* -f- a* et mx -f- nx* -f- ac — bd ont la même différentielle; cela est évident , puisqu’un terme constant n’a pas de différentielle.
Des différentielles successives.
3 o. Soit^ 1 une fonction de x; si elle est différenciée, on trouvera un résultat de la forme pdx (p étant une quan? tité qui peut renfermer x). Si p renferme x, nous pourrons
ÏHÉcmÈME DE MACLAÜRIN. iff
Imssi différencier p, et obtenir un résultat représenté par qàx ; opérant de meme par rapport à q , le résultat devra être encore de la forme de rdx, ainsi de suite, pdx, qàx , rdx , etc.-, sont les différentielles successives jie y. Par exemple , si y = ax\ on trouvera d y = Zax'dx ; donc p — Zax*-. Différenciant de nouveau, on a dp t= Gaxdx ; donc q = 6ax. Différenciant encore, àq=Gaàc\ donc r~ 6a. Ici la différenciation ne peut pltis avoir lieu, puisquè (>a est une constante.
Les équations ' ^
dj' s= pdx 'donnent, en divisant par dx, ^ ~p,
àp = qdx. . .. f . . à £±=q,
àq = rdx. ........ — = r.
etc. etc.
q étant obtenu par deux différenciations successives, et <n divisant cbaqüe fois par dx, nous représenterons cetté
opération par , et nou^aurons — q\ de meme en
différenciant de nouveau etW divisant par dx, nous aurons
; ainsi de suite.
d y est la différentielle première dé .y; d^y en est la différentielle seconde; d'y en est la différentielle troisième ; ainsi de suite.
Théorème de Maclaurin.
3 1 . Soit y une fonction de x ; ordonnons-la par rapport è x , et supposoi^
y = A -f* Bx -j- C*’ + Dx 3 -f- Ex* -f* etc. . . * 06),
a.3D + a.3.4Ex + etc.,
jg CALCtJt DIîTÉREKTlEL.
nous trouverons en différenciant et en divisant par dx
^>L = B + 2 C^+ 3Dx* + 4 Ex 3 + etc.,
dx
^ = ....nC + a.3Dx + 3.4Ex» + etc.,
dx* d 3 jy
'• üx i ~~
v etc. •
Représentons par (y) ce que devient y quand x = o,
par ce que devient & quand x = o,
. I ... par ce que devient ^ quand x= o,
ainsi de suite; les équations précédentes nous donneront
(y) = A, (*£) = B, (5) = 2 C, (-^) = a .3D ; d’où nous tirerons * . . „
A = (y),B = (^),C = ^(^),D=^ (di) ;
substituant ces valeurs dans l’équation ( 16 ), elle deviendra
telle est la formule de Maclaurin.
