A l’égard de la différentielle de sin x, on a

sin (x -|- dx) — sin x = sin x cos dx -f- sin dx cos x — sin x, l’arc x étant infiniment petit ,

cosdx=i, et sindxx=dx; au moyen de ces valeurs , on trouve

d . sin x = dx cos x.

23 g. Le problème des tangentes a donné en quelque sorte naissance au Calcul différentiel. Voici de quelle manière on résout ce problème par la méthode des infiniment petits.

Soient PM et P'M' (Gg. 47 ) > deux ordonnées inEniment proches , et MO une parallèle à l’axe des x ; la tangente MT pourra être considérée comme le prolongement de l’élément MM' de la courbe , parce que cet élément étant très petit, est censé être en ligne droite. Nommons AP, or, PM,y ; l’accroissement de x sera PP' = dx, et celui de y sera M '0 = dy. Le triangle infiniment petit MM'O étant semblable au triangle MPT, on a

ou donc

On trouvera ensuite la normale , la tangente , et les équations de ces lignes, comme dans les art. 70 et 71.

* 240. Pour avoir la différentielle d’un arc, on regardera l’arc compris entre les ordonnées PM et P'M', infiniment proches, comme uue ligne droite; et alors , en nommant s l’arc total, MM' sera ds, et le triangle rectangle MM'O donnera