M'N : MN : : AM* : AT

ou, en remplaçant AM' par AM, qui n’en diffère que d'un infiniment petit, du : udt : u : AT ; «

d’oti nous tirerons

AT=t

du'

De la méthode de Lagrange pour démontrer les principes du Calcul différentiel ' , sans la considération des limites des infiniment petits , ou de toute quantité évanouissante.

2^2. Nous avons vu de quelle utilité était le théorème de Taylor lorsqu’on voulait développer des fonctions en séries. Lagrange avant senti que les principes de la différenciation étaient renfermés dans ce 'théorème , parvint à le démontrer sans faire usage du Calcul différentiel, par un procédé que nous allons modifier de la manière suivante : * Soit y =f (x-f- h) ; par la nature de cette fonction, il faut que lorsqu’on fait h — o , f\x -f- h) se réduise àfc; c’est ce qui aura lieu si la partie qui contieut h dans cette

l 6 o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

équation , est un multiple de h. Représentons-Ja par P h\ nous aurods donc

■ • f(x + h)=fx + Vh-

P pouvant être une fonction de h , si wous appelions p ce que devient P lorsque h = o , et Qh la partie qui dépend de h , nous aurons encore P = p -f- Qh ; en continuant ce raisonnement on aura cette suite d’équations

, y =f* + PA »

P =p + Qh,

Q = q + RA,

* etc. etc. etc.

Mettant la valeur de P, donnée par la deuxième équation, dans la première, il viendra

y =f* +ph + QA* ;

mettant dans ce résultat la valeur de Q, donnée par la troisième équation , on aura

y =fx +P h + gA* + IU 3 ;

en continuant ainsi, et en mettant f( x + h) à la place de V, on aura en général

f (x+h)—fx -+-ph-+-qh % -\-rh 3 -{• sh*-\- etc. . .(i33).

243 . L’expression f(x - 4 - h) représente, en général , la fonction qui n’est pas encore réduite en série; si dans cette fonction on change x en x-f- i, on aura le même résultat que si l’on eût changé h en h -f- i. En effet , cette fonction ne pouvant renfermer x sans que cette variable ne soit * suivie immédiatement de h, un ternie tel que A(x-f h) m , par exemple, lorsqu’on aura changea: en x-f-i, deviendra A(x-f -i -f- h) m , quantité qui est la même que A (x 4- A -f-/)"* qui résulterait de la substitution de h -f- i à la place de h f

DE LA MÉTHODE DE LAGRANGE. - lGl

Üans la fonction A(x -f- h) m -, ce que nous disons de ce terme devant s’appliquer à tous les autres , il s’ensuit que , dans les deux hypothèses, le premier membre de l’équation (i33) donnera lieu à des résultats identiques ; d’où il suit que le développement fx 4* ph 4* <7^* ■+* e tc. , donnera le même résultat en remplaçant x par x^-*, ou h par h +t. •

244 . En substituant d’abord h + i à h dans fx -f- ph -f- qh a -f- etc. , on aura

/x-f-p(ft-f-i') +q(A + i') , + r (^+‘) 3 4-etc.... (i34)‘,

et en écrivant seulement les deux premiers termes de chacun de ces binômes , il nous viendra

fx-{-ph-\-pi-\-qh*-j r ’iqhi + rA , +3rA , r + etc.. . . (i35).

Pour obtenir ensuite le résultat de la substitution de xàx+i, dans l’expression fx -\-ph qh‘ -f- rh 3 -f- etc. , observons que dans cette séria , h étant en évidence , cet accroissement n'entre pas dans fx et dans les coefïiciens p, q t r, s , etc. , quantités qui ne pouvant donc renfermer que x , en doivent être regardées comme des fonctions -, et puisque l’équation (i33) a lien pour toute fonction de x, la substitution de x -f- i à la place de x changera

fx enfc + pi -+• qi % -f- ri 3 -f- si* -f* etc. , p en p 4- p'i + p*i* + p m i 3 -f- p"i* -f- etc. ,1 /

q en q -f- q'i -+■ q"i* + </*» 3 + <7*’»* + etc.,

r en r + r'i -J- rV + i*L 3 + r' Y i 4 4- etc.,

s en j -J- 5 3 + s “i* ~h *+* s>y ^ + etc. ,

etc. etc. etc. etc. etc. etc.

Il n’est pas besoin de prévenir que par les lettres accentuées , nous représentons les coefficiens des différentes puissances de i dans ces déyeloppeiuens.

jÇ 3 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

En substituant ces valeurs de fx, de p, de q, de H' de s , etc., dans la suite fx +ph + qh* + rA 3 + etc., nous obtiendrons

fx 4 pi 4 < 7 * a + " 3 + etc - + CP+p' J -f P" 1 ' + etc. )h 4 ( 9 +9'i+9"i s +etc.)A ! ‘-Kr-H / i-f r”ï+etc.)hhtc.... (i 36 ).

1 a 45 . Ce développement devant être identique (art. 243) à celui qui est désigné par i 35 , il faut que dans ces développemens , les termes qui Contiennent les mêmes puissances de h soient égaux [note seconde)-, par conséquent, si nous comparons les termes affectés de hi , d eh*i, de h 3 i, etc., de ces développemens , nous trouverons

p' — zq, q' — 3 r, V = 4 *> etc (137).

246. Nous avons vu , art. 244 , que p était en général Une fonction de x ; représentant donc p par/ 7 x , et nommant/"* le terme quimultiplierale coefficient de A dans le développement de/ (x+fc), nommant de même/'x le coefficient de h dans le développement d ef(jx+k), et ainsi de suite , noua aurons ces équations

f (x- f- h) —fx 4- hfx ter mes en h% en h 3 , etc..

f(x + h) =±./x 4-*/x -f termes en b 4 , en b 3 , etc. f”(x 4 h) d=fx-i-hfx-{- termes en h 4 , en h 3 , etc. etc. etc. etc.

347. Par bypothese , nous avons, art. 34B , p=/x; donc, si dans cette équation on fait i=i+ü| on aura

p + P ' h 4 P "h* 4 P "/i 3 4 etc. =f(x 4 ;

mettant dans cette équation la valeur de/(x 4 ^)j donnée par la seconde des équations (i 38 ), nous obtiendrons

p 4. p 'h t£p"h a + etc. =f'x+hfx + termes enh 4 en h 3 , etc.

t)E LA MÉTHODE DE LAGRANGE. îgj

Cette équation ayant lieu , quel que soit h , il faut que les termes des mêmes puissances de h soient égaux ; donc

cette valeur de p' changera la première des équations ( 137 ) * n f* x — aq ; d’où nous tirerons

si dans cette équation nous changeons xenx-f h , il viendra q + q'A + q"h 1 + etc. = j/"(x + h) ;

mettant à la place de f"(x -f- h) son développement donné par la troisième des équations (i38), nous aurons

< ]~hq'h-l-q‘Ii'‘-^-e\c.=l(f"x-\-hf m x-^-termes enh i enh 3 ,etc.')-,

comparant les termes qui multiplient la première puissance de h , nous aurons q'—\f x , valeur qui étant' mise dans la seconde des équations (i3y ) , la changera en \f“x = 3r d’où l’on tirera

en continuant ainsi, nous trouverons successivement tous les autres coefficiens de l’équation (i33) ; substituant dans cette équation les valeurs dep, de q, de r, etc., nous aurons

f(* + J‘)=fx + hf x+ ~f'x + ~ fx+ etc..(i4o).

Si l’on considère maintenant la première des équations (i38), on verra que f'x étant le coefficient de h dans

le développement de/(x-f-/z), est ce qu’on désigne par d./x dy , 01

"àr - ou par ^ ; de meme, en considérant la seconde des

équations ('38), 0 n reconnaîtra que le coefficient f’x de la première puissance de h, dans le’développemeot de

î84 'CihCVL DIFFERENTIEL:

df'x

f (x-{~ A) , doit être représenté par £ — , c’est-à-dire par

dag Q*V

^— = et a* n3 i de suite ; par conséquent, en mettant

ces valeurs d efx, def'x, def'x, etc. dans l'équation (140), on trouvera

/C*+«=^+^+g^+^^ + etc...,-T(i 4 .).-

249. C’est ainsi qu’on parvient à la formule de Taylor,* sans faire usage du Calcul différentiel. L’expression qui

entre dans cette formule, est }e signe de l’opération par laquelle on obtient le coefficient de A dans le développement deyi[x-}-A);dès que ce coefficient est trouvé, les expressions

dx“ ’ dx 1 ’ etc " * nous indiquent que la même opération répétée, nous fera connaître les coefficiens des autres puissances de A ; de sorte que nous n’avons besoin que de connaître , par des moyens tirés de l’Algèbre, ee que doit être

pour chaque fonction. Par exemple, si l’on demandait • -dy

que! est jg pour la fonction x”, on développerait fx-f-A)'* par la formule du binôme, qui donnerait x m -|- 7 iix OT ~ I /i+etc.; et comme ~ devrait indiquer le coefficient de la première

puissance de A , dans ce développement, on aurait

~ = jni”' 1 . Ainsi , tout se réduit à pouvoir trouver , par

des procédés analytiques , le développement des différentes sortes de fonctions que l’Algèbre peut présenter ; ces procédés ne sont pas différens de ceux que nous avons fait connaître pour développer les diverses fonctions qui, par leur combinaison, donnent toutes jes autres ; c’est ainsi que nous avons donné les développemens de a x+h , de log (x+A), de cos (x-f-A), etc.

TM? - LA MÉTHODE DE LAGRANGE. l65

a5o. Voilà donc une troisième méthode, d’après laquelle lès principes du Calcul différentiel se trouvent démontrés d’une manière indépendante de toute considération de li-. mites, d’infiniment petits, ou de quantités évanouissantes ; mais cette méthode ne peut néanmoins exclure celle des limites, parce que lorsqu’on en vient aux applications, et qu’on veut, par exemple , déterminer les volumes * ou les surfaces , rectifier les courbes , ou obtenir les expressions des sous-tangentes , des sous-normales , etc. , on est toujours obligé de recourir aux limites ou aux infiniment petits.

a5 1 . En considérant les développemens des diverses fonctions (x-f-h) m , a I+A , log (x -J- A), sin^r -}-/[), etc., que l’Algèbre nous offre ; comme ces fonctions sont en nombre "très limité , il est facile de reconnaître que , daarieurs développemens, le coefficient de la première puissance de h n’est ni nul , ni infini , du moins tant que x conserve sa valeur indéterminée -, c’est d’ailleurs ce qui résulte de la démonstration précédente. En effet , supposons qu’on eût p=?o dans l’équation

ty-xzfx^ph qh* rh 3 - f-etc.,

il arriverait deux cas : ou la valeur dex, que renferme p , devrait être donnée par une équation identique, ou par une. équation qui ne le serait pas; dans ce dernier cas, p = o' représenterait une équation d’un certain degré , et cette équation ne donnerait qu’un nombre limité de valeurs de x , ce qui serait contre l’hypothèse , qui admet pour x une valeur quelconque ; màissi p=o , c’est-à-dire &if'x=o était une équation identique en x {*), faisant x=x-f-h, on aurait encore /”(•* + h} = o ; et comme h entrerait par-

(*) Le cas où p ne contient pas x est compris dans cclui-ci j car si la valeur de p , qui est nulle , est représentée par a — a , on peut la considérer comme a — x — (a — x) y

l6S CALCUL DIFFÉRENT! EL,

tout où entre x , cette équation , considérée par rapport à h , serait encore identiquement nulle , ou , en d’autres termes» cette équation aurait lieu quel que soit h\ il en serait donc de même de son développement qui, d’après l’équation ( 169 ), est

p +p'h + p "h* -f- + etc. = o ;

mais lorsqu’une équation de ce genre est nulle , indépendaniment de h , il faut que les coefliciens des differentes puissances de h soient nuis séparément (note seconde ) , et que , par conséquent , l’on ait

p' — o, p“— o, p m ~ o , etc.

En substituant ces valeurs dans les équations

p' = aq, p" = 3 r, p m = 4s, etc., ,

qui résultent 4 e l’identité des termes affectés des mêmes puissances de ih , de i u h , de i 3 h , etc., dans. les suites i34 et i36 » • on obtiendrait

q = o, r~o, s — o, etc.; et , comme en outre p = o , l’équation (i33) se réduirait à. f(x + h)z=fx\

il faudrait donc^que x + h, mis à la place de x, ne changeât pas la fonction , ce qui exigerait que cette fonction fut identique ou constante; car on sait que si fx était , par exemple, de cette fprme x a — x ou de celle-ci, c - 4 -.r*— la substitution d ex-\-h à la place de .redonnerait toujours, le même résultat, et l’on voit que, dans le premier cas , la fonction serait identique, et dans le second, se réduirait à une constante c . Il suit de ce qui précède , que le coefficient de la première puissance de h ne peut être nul dans, le développement général de^*(x-f- A).

Il ne serait pas moins absurde de supposer ce coefficient* infini , car le second membre de l’équation (i33) devenant* infini, le premier membre léserait aussi, c'est-à-dire qu’oa,