DE LA MÉTHODE DE LAGRANGE
aurait f(x -f- h) = 00 ; et comme /(x h) est composé en x-\-h, comme^x l'est en x, letermequi, dans f(x-\-h), rendrait cette expression infinie , devrait rendre aussi infini fx. Par exemple, sif(x-j- h) renfermait un terme tel que
( x 4- h ) (æ - 4 - ü) ’ est ^ est évident qp’on devrait avoir danser , le terme — - , qui serait aussi infini.
Il suit de là que la fonction proposée serait infinie , ce que nous ne supposons pas.
25 a. Les expressions fx , f"x , fx, etc. > sont ce que • Lagrange appelle la fonction prime , la fonction seconde ,
1 a fonction tierce, etc. , de fx, et en général , en sont les ., fonctions dérivées. Lagrange indique aussi les fonctions dérivées d’une autre manière, en remplaçant È par y',\
dx* par -? ’ dx 3 par -^ * et aulS1 de smte ‘
Des cas où la formule de Taylor est en défaut.
i53. En général , lorsque dans une fonction de x on met i + S 1 la. place de x , la tonne de la fonction reste la même, puisque x -f- h entre parfont où e'tait x; ainsi, lorsque fx renferme un radical , f(x •+■ h) doit aussi le renfermer : par exemple , si l’on a
fx=zbx‘ + ~, yx
le.méme radical se trouvera dans l'expression
f(x +hy = 6(x-t- h)l -h —
a54- Il n’en serait pas toujours de même, si l’on donnait une valent
particulière à x ( je veux dire dc'termince) : par exemple , si y,f — a entrait dans fx, il faudrait que f(x -f-h) contint le terme
yx + h — a ;
or, l’bypoütèse de.* ss a ferait évanouir \fx — a qui se trouve daas.
1 68 CALCUL différentiel;
fx , tandis qnc la même hypothèse réduirait le terme V x — a -f-A, qui S *
entre dan» f[x-bh ) , A \/h — h'‘ : le développement de f(x-bh) contiendrait donc alors nn radical qui n’existerait pas dan sfx , et ne pourrait se développer suivant les pnissances entières de h.
Ceuc impossibilité se manifesterait par les valeurs infinies que prendraient les coefficient différentiels : par exemple, si l’on avait l’cquatiou,
on trouverait, en la différenciant,
dr i -
et l’on voit qne la valeur de ce coefficient différentiel devient infinie , lors» qu’on fait x=a.
a55. Soit, en général.
Le développement qu’on serait censé obtenir en faisant x — a, et dan» lequel n~h - représente une quantité qui tombe entre n rt a + tj on. va démontrer que le coefficient différentiel de l’ordre n-f-t est infini. Pour cela , en regardant a comme une variable , nous savons , art. 53 et 54 , que l’on a
Af{n -I- h) d f (a -4- h)
~ da d h ’
dv/fn-4-A)
du'
d ’/ (a -b h) dt?
, etc. (i43).
Différencions successivement par rapport S h , l’éqnation/i 4 ?) , et représentons , pour abiégcr, par M', N', M'‘, N", etc., ce que deviennent aior» les coefficient M et N j nous aurbns
+ N ’h + * ‘ + etc. ,
=x aC + n.3 Hh . . . + M 0 A-’ + H m h ^ * + etc. ,
etc. etc. etc. etc. ;
{remplaçant les premiers membres . de ces dernières équations par lettre
CAS EN DÉFAUT DE LA FORMULE DE TAYLOR. ïfry valeurs données par les équations (*43) , nous obtiendront
= B + sCA 4- a . 3DA*... -H M'A*-‘-f-N"A +t '+...(, 44 ),
^£fct£l = aC + a.3DA + M'A->+N'A +I +...(i45)t
da* *
etc. etc. etc. etc. ;
faisant A = 0 , dans les équations ( 1 4 2 ) > (* 44 ) ct (*45) > ctc - > on a r . àfa d % fa
> = A « 37 = b ’ d^ = aC,e,c ’
Cela suffit ponr déterminer les coefficient A, B, C, etc. de l’equatinn (i 4 a).
Cela pose', d’après l’inspection des équations ( 1 44) et (*45)> 00 T0 't que chaque différenciation diminuant n d’une unité , lorsque nous serons arrivés A la «*'•■• différenciation, nous aurons
£££±i!=...PA— + QA +x +etc. = P + Qi*+etc., da"
et, A la différenciation suivante, nons trouverons
d** 1 f (<* -1- A) da*+'
-f- etc.
O*,- étant moindre qne l’unité , - — 1 est un nombre négatif : on pourra
donc écrire ainsi l’eqoation précédente ,
‘ ( da*+>
R -+• etc.
par conséquent , lorsque nons ferons A = o, pour déterminer le cocffi* cicnt de l’un des termes de l’équation (ï4*) , nous trouverons
da"+‘ o
il en ^ra de même lorsqu'on voudra déterminer les cocfEcicas différentiels d’un ordre supérieur.
tJO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Il rçsulle de ce théorème, que lorsqu'on fait x = a , dans le dèvelop* pement de f(x + h) , s'il existe une puissance fractionnaire de h dans ce développement , et qu'elle soit comprise entre les termes affectés de h* el de h"+', on ne pourra déterminer les termes de la série de Taylor , que jusqu'à l'ordre n inclusivement : tous, les autres termes deviendront infinis.
a56. Une fonction de x représentée par fx étant donnée, si l’on vent déterminer le développement de J (x + h), dans l’hypothèse de x — a , il faudra, comme on le sait, calculer les termes de la suite,
+ etc.;
J dx dx 3 i.a ’
mais si en faisant ce calcul on trouve que l’un des coefficiens différentiels devienne infini dans l’hypothèse de x — a , on ne cherchera pins à obtenir le développement d ef{x ■+■ h) par la série de Taylor ; mais voici le procédé qu’il faudra employer. On mettra x + h a la place de x , dans fx; alors le terme qui contient x — a au dénominateur , contiendra x — a-f -h, et ne deviendra plus infini lorsqu'on fera x = a, mais., donnera lieu à un terme affecté d’une puissance fractionnaire de h. n5y. Soit, par exemple,.
fx — 3ax — -x* -f- a \/ X* — a" j
en différenciant, on trouve
dV
•ubsti ruant ces valent* et celles dc^y~ , de , etc., dans la formule de Taylor, art. 55, on obtient.
/ , (x-f-A) = aax— x’rha ÿxî—â'-M a(a — x)4- — — | h -f-ctc.
L yx’-~a’J
Or , quand x = a , le terme multiplié par h devient infini ; donc ce développement n'est plus possible.
Dans ce cas, d’après la règle précédente, on mettra x-f-A à la place de x dans l’équation .
fx — 3 ax — j/ ’x* — a*,
ot l’on trouvera
/(x -f- h) ss tax + %ah ■— x» — ixh — h' •+■ a y'x * + asc h -f- A* — a* ,
CAS EN DÉFAUT DE LA FORMULE DE TAYLOR. 17* équation qui , tlans l'hypothèse de x = a , devient
J'ifi 4 - A) — ja* — » A* — a a uA 4 “ A**
ou,
f(a + h)—a' — h'-t-a^Tl y/aa-f-Aj.
développant par la formule du binôme, et représentant, pour abréger par A , B , C , etc-, les cocfficieus donnés par cette formule, on a
JL »
V aa 4- A = (an -J- A/ = A ■+■ BA 4* CA*-f- DA 1 4- etc.j substituant, on trouve
^(a + ft)=û* — A* rrA A 4- r/BA + uCA* y/ A 4 - etc*
On voit, par cet exemple, qu'en mettant r+A, dans la fonction* et faisant x = a , on peut introduire une ou plusieurs puissances fractionnaires de A; on développe ensuite séparément les termes qui sont •usceptibles de l'ëtre, soit p..r la formule du binôme, soit autrement, et on substitue ces termes dans la valeur de f{ a 4- A) , ce qui en donne le développement. .
a. f 8. Lorsque xTreste indéterminé, Lagrange a démontré que le développement àcf (i-f-A) ne pouvait contenir des termes affectés d’une puissance fractionnaire de A. En effet, supposons que l’on eût
f{x+h) =fz + ph + qh*.. .+ Ky%ÿ
comme K y h est susceptible de trois valeurs , M, N , P, nous aurions ces trois développemens àej(x 4 - A) ,
f(x 4 - A) = /x 4- ph 4 - qA*. . . 4 - M,
/(* -b h) =fx -b ph + qA».. 4 ~ N , f(x 4- h) = /x 4 - ph 4 - qA»...-f- P.
Or , fx devant renfermer les mêmes radicaux qu ef(x 4 - A) , art. a 53 , il faudrait que fx eût aussi trois valeurs différentes, Q, R, S; en substituant successivement ces valeurs h la place d efx, on trouverait donc
/(x 4 - A) = Q 4 - pA 4- qA*. . .4- M ,
/(x 4 - A) = Q4- ph 4- qA*. ..4- N, f(x 4. A) r= Q-f- ph 4- qA*. . .4- P,
/(x 4 - A) = R 4- ph 4- qA*. . . 4 - M ,
J (x 4 - A) s= R 4- ph 4- qA*. . .4- N,
. f {x 4 - A) = R 4- pA 4- qA*. . .4- P ,
» y*(x 4 - A) = S 4- ph 4- qA*... 4 - M,
jf(x 4- A) = S 4 - ph 4- qA». . .4- N,
jf(x 4 r h) = S 4 - ph 4 - qA* . , .4* Pi,
de sorte qne l’expression f(x + h) étant développée', aurait neuf valeurs differentes, tandis que non développée, elle n’en pourrait avoir qu’autant qaefx en comporte, et par conséquent trois dans l'hypothèse actuelle ; ainsi on ne peut supposer que le développement de y (x -f- h) contienne une puissance fractionnaire de h, sans tomber dans une contradiction.
a 5 g. Il est facile aussi de démontrer que/(x+ h) ne peut contenir, dans son développement, un terme affecté d’une puissance négative do h j car s’il contenait un terme tel que MA—", on aurait
tw-
/(x 4- h) =/x +ph + (jh‘ . . ,-f. ^ ;
or, en faisant A = o, le premier, membre se change en fx , et I« second^
au lieu de se réduire bfx , devient infini , à cause du terme ^ qu’il renferme.
360. Il en serait de même si. le développement contenait un. terme affecte' du logarithme de h ; car si l’on avait, par exemple, un terni e tel que A log h , ce terme , lorsqu'on ferait h — o , deviendrait A log o ; or , le logarithme de o étant l’infini négatif , le terme A log h serait alors, infini ; d’où il suit qu e fx devrait l’étre aussi, ce qui est contre l’hypothèse.
ÉLÉMENS
De V intégration des différentielles monomesZ
s6i. Le Calcul intégral a pour objet de trouver la fonction, qui, étant différenciée, a dû produire une différentielle donnée. Pour commencer par le cas le plus simple , nous allons chercher à intégrer l’expression x m àx : dans cette vue , nous différencierons l’expression x m " H , et nous trouverons
d.x”* 4 ' 1 =: ( m + 1) «"dx, d’où nous tirerons
— r- = x"dx ; m -f- 1
et comme la constante m+i n’influe pas sur la différenciation , nous pourrons écrire ainsi l’équation précédente :
, • ' d . ; — = x m àx ;
par conséquent, la quantité qui, par la différenciation, a
calcul intégrai;
^pW+l
donné x m d£ , est — : — .
mettrons, avant la dilFérentielle , la caractéristique f, qui signifie somme ou intégrale ( * ) , de sorte que nous écrirons
Pour indiquer cette opération , nous
fx m dx =
263. Concluons cette règle générale : pour intégrer x m dx il faut augmenter F exposant d’une unité , et diviser par cet exposant ainsi augmenté et par la différentielle.
a63. Soit, par exemple , nous aurons donc
'fËf fax — — CJ ~ 3+ 1 = x‘ ~ JaX — 3-f-t — a
ax-
ai
on trouvera de même que
fdx y' x*=fx 3 dx
264. Observons que lorsque nous différencions a- notfs trouvons mx m “'dr, comme si nous n’eussions différencié que x™- par conséquent il faudra, en intégrant, ajouter une
(*} Ce mot somme, pour designer l’intégrale, a été introduit par le* anciens géomètres', parce que, d’après la méthode des infiniment petits, ils considéraient une fonction y comme une somme d’accroissemcns infirmaient petits.
Fig. 48. Par exemple , on voit que l’ordonuée étant MP (Gg. 48 ), oft a
MP = ab + a' b’ + a" b" -f- a” b" +
c'est-à-dire qae y est égal h la somme des accroisscmens infiniment petits^ représentés chacun par dy.
