INTÉGRATION DÉS DIFFÉRENTIELLES MONOMES. 17S

constante à l’intégrale. Ainsi , dans les exemples précédens , nous écrirons

aS 5 . Cette constante C, gui doit s’évanouir par la différenciation , est en général arbitraire , à moins que , par la nature du problème , elle ne soit déterminée.

Par exemple* si l’on a l’équation^» s= ax* — b , qui est celle d’une parabole CBD (fig. 49) » dont l’origine est en A, Fig. 49 » et qu’on en tire d y == aaxàx, on trouvera , en intégrant,

7 = cx* + C. . .(1).

Cette équation peut convenir à une infinité de paraboles.'

Or , si l’on veut que parmi toutes ces paraboles , CBD ,

CB D', C"B"D", etc., la courbe qui a pour équation

y=ax**j- C,soit celle d’une parabole qui passe par le point E dont les coordonnées sont

y — ° » «=AE = 4-\/^*

il faudra qu’en faisant x — , on ait y — o , ce qui réduira l’équation (1) à ' ' '*

d’où l’on tirera C = — b. Substituant cette valeur dana l’équation (1}., on obtiendra

y z= aX* — b ,

comme on l’avait avant la différenciation.

266. Lorsque la nature du problème ne détermine pas la constante , on peut disposer de cette constante comme dans l’exemple suivant : ayant trouvé que l’intégrale de

x m àx eat

>=^pr+ c -**^

nous donnerons à x une valeur déterminée b, et le second membre de cette équation deviendra

TJl -f- 1

C étant arbitraire, nous pouvons déterminer cette constante par la condition que 1 expression ( 3 ) soit nulle , ou, ce qui revient au même , par la condition qu’on ait y = 0 lorsque X—b ; alors l’équation (2) deviendra

frm+i

tToù l’on tirera la valeur de C , qui étant substituée dans l’équation (a) nous donnera

367. Il n’y a qu’un seul cas qui échappe à la règle de l’article 362 pour intégrer x m dx ; c'est celui ou m= — 1 , car alors la formule (4) devient

ar® — b° o

il faudrait donc, dans ce cas, faire usage de la règle de l’article 81 , pour déterminer la vraie valeur de l’intégrale ; mais on peut éviter cet inconvénient, en observant que

x -i dr = — , et que cette expression — est la différen-

tielle de log x\ par conséquent, nous aurons

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES COMPLEXES. 1 77 = log x + C.

Des différentielles complexes dont F intégration peut s’effectuer par la règle de l’article 26 2.

268. Nous avons vu , art. 28 , que la différentielle d’un polynôme se formait de la somme des différentielles de ses termes ; réciproquement l’intégrale d’un polynôme sera égale à la somme des intégrales des termes qui le composent. Par exemple ,

J " ^ad x — {-xdx v/x ^= faàx — /x“dx + C ,

ou, en effectuant les opérations ,

J'(aàx - b ~-\-xàx ffi) — ax— A 4. £ + C.

Nous n’avons mis ici qu’une constante , parce que chaque terme donnant une constante à l’intégration , nous pouvons représenter la somme de ces constantes par une seule lettre.

269 • Tout polynôme , tel que (a + bx + ex* -f- etc.)“dx peut s’intégrer par la même règle , lorsque n est un nombre entier positif. Pour cela , il suffit d’élever le polynôme à la puissance indiquée, et d’intégrer séparément chaque

terme. -

Par exemple , pour intégrer (a 4- 6x)'dx, nous aurons

f(a + hx)*dx=/(a’ > dx + aabxAx -f- i*x“dx) •

— n’x -f- abx* 4- C.