C-+-ÔX* = z, et par conséquent übxdx = dz, d’où je tire ds
xdx = — r-, substituant ces valeurs dans l’expression (5),
j’obtiendrai
I TJX —
(g -f- bx*) a mrdx = z a dz , et, en intégrant, il viendra
f[u -f- ix 1 ) 2 mxdx — ~ 4-C=^ (a + 6x a ) 1 + C.
272. La même transformation peut s’appliquer aussi pour rapporter certaines différentielles à des logarithmes :si Ton
avait, par exemple, , en faisant a bx~z, j’en
déduirais dx=^; substituant, j’aurais
/ adr T'a ds a C ds a. .
ï+bï=J Zl.=iJ T = ï l °‘* + C ',
et , en mettant pour z sa valeur,
adx
En opérant de même pour on trouvera que l’inté-
grale de cette expression est
Z?es différentielles qui s’intégrent par arcs de cercle.
273. Soit (Gg. 5o) a; = CE , le sinus dont l’arc CB est Fig- 5o.
calcul intégral;
z ; nous avons x = sin a ; différenciant , il viendra. ...»
dx = cos zdz, d’où nous tirerons da = ; d’une autre
cos a
part, l'équation cos® a-}- sin* a = 1 nous donne
cosa=l/i< — sin“a= y 1 — x*;
substituant cette valeur dans celle de da, on obtiendra
. dx
da=— — =■ -,
par conséquent on trouvera , en intégrant,
Pour déterminer la constante, supposons donc que lorsque x = o , on ait
r dx
comme, d’après la figure 5o, l’arc a, représenté par CB, est nul , en même temps que le sinus x, l’équation (6) se réduira donc , dans cette hypothèse , ào = C; par conséquent
dx
: = arc (sin =s x).
274- On peut, de l’intégrale précédente, faire dépendre celle de
dx
en effet , en divisant les deux termes de la fraction par a , dx
on aura
/y dx /y ^ x
INTÉGRATION PAR ARCS DÉ CERCLE. l8l
cc f* dr
cette intégrale étant composée en - , comme J
l’est en xj il en résulte que
/ dX f . X\
. = arc ( sm= - ).
a a — X a ' a ' oiw •:
275. En second lieu, soit z l’arc CD (fig. 5 o) dont le j'ig, s 0 , cosinus AG est x \ nous aurons
et , en différenciant ,
d’où l’on tirera
x — cos z,
dx = — dzsinz, dx
• dz =
sinz
et , en mettant pour sin z sa valeur tirée de l’éqùation cos* z ■+- sin a z = 1 , dx
on obtiendra
\/ x — co? a z’
ou , parce que cos z,= x ,
dz = — ■
dx
i' i ta
•t en intégrant , on aura
f- — — arc (cos = x)+C,
ou
/ dx
arcDC-hC.. .(7).
Pour déterminer la constante , supposons que lorsque
— — r==è= soit nul : l’équation (7) se réduit , VA — x a
CALCUL intégral;
dans ce cas', à
0 = arc (cos = o) + C . . . . (8) ;
or, pour que le cosinus AG de l’arc DC soit nul, il faut que. cet arc devienne
DB sss i cire. = 3 tr ;
mettant donc - *• âu lieu de arc (cos = o) dans 1 équation (8) , on a
ce qui nous donne
Fig 5 o. Bubstituant cette valeur dans l’équation (7)^ on obtient fi. — — — (i » — arc DC ) = — arc CB.
