On peut rapporter à cette formule , celle-ci

/ ‘die 4 ' ■ •

en divisant par a 1 les deux termes de la fraction , qn pourra

I ecnre ainsi ; •

et comme cette intégrale est compose» en — , comme...

1 r dx ,, \ i-

- I — : 1 est en x , nous aurons

/?rî ; =« arc ( , “ 5= ';}'

Soit encore x le sinus verse DG. Le cosinus et le sinus verse valant ensemble l’unité, noua aurons x-hcosz= i.

et, en différenciant,

dx = dz sin z ,

d’du l'on tire

, dr dz = - — ;

sin z

or,

■in z— 1 — cos'zn: C 1 — cos s) (i-f-c°3z)=\/x(a — x)

=y zx— x»;. .

substituant , on a

dz =s ■

et en intégrant,

dx

dx

V/flX — X*’

= arc (sinus verse =j x).

Nous n’ajoutons point de constante, parce qu’en supposant que l’intégrale s’évanouisse quand x est nul , z est aussi nul.

-Il: ■ S . *

378. Lorsqu’on veut avoir la valeur de l’intégrale pour une valeur déterminée de x, on opère comme dans l’exemple suivant.

Supposons qu’on demande l’intégrale de ■

dx

;, lorsque

x = 7 ; le rayon étant 1 , la tangente sera donc 7; et comme les tables des sinus sont construites avec un rayon de 10 milliards de parties, .la tangente relative à ce rayon sera 10 milliards de fois plus grande ; par conséquent cette tangente vaudra 7 X 10 milliards. : !

Le logarithme de la tangente tabulaire aura donc pour expression , ,

log 10 milliards -f- log 7 = 10 + log 7 = jo -f- 0,845098 = 10,845098.

Cherchant ce logarithme dans les tables des sinus, on

INTÉGRATION PAR PARTIES.' l85

▼erra qu’il répond à un arc de

go° 9 S', division décimale ,

ou de

8 i° 5a', division sexagésimale.

Pour trouver la valeur numérique de cet arc , dans l’hypothèse du rayon = 1 , nous remarquerons que , dans cette hypothèse, la circonférence = 6, a83 ; par conséquent nous aurons

4oo° : 9 o° 96 ' :: 6,a83 : arc cherché = i,4a, ou

36o° : 8i*5a' :: 6,a83 : arc cherchée i,4 2 * •

De V intégration par parties.

279 . En prenant la différentielle d’un produit de deux variables , par le procédé indiqué article i 4 , on trouve

d . uv = udv -f- vdu ;

intégrant et transposant , il vient

fudv — uv — fvdu.

C’est à cette formule que l’on rapporte les différentielles que l’on veut intégrer par parties.

280 . Par exemple, si l’on ignorait quelle es» l’intégrale de x m d.r, on ferait x m = u , dx = dv; et l’on aurait

fx m àx z=ix m+ ' — fx.mx m ~'dx =x m+l — mfx m dx ;

réunissant les termes affectés de x m dx , on a, en transposant ,

(m -f- 1 ) fx m dx — x m+ ' -,

donc

• r m-fi - , v

fx"àx = — , h C.