Pour dernier exemple , cherchons à intégrer dx — x

en faisant

j/ a* — x*=u et dx = dv, nous trouverons d’abord

Nous chercherons ensuite une autre valeur de fdx a* — x“ :

pour cet effet, en multipliant cette dernière expression par

nous aurons l’équation identique ,

, p «’dx

et, en effectuant la première des intégrations indiquées dans le second membre , nous obtiendrons

fdx v/a a — x“ = a 4 arc(sin = ?) ; .

P x’dx

ajoutant cette équation à l’équation (9) , nous trouverons

2 fdx{/a i —a£ = xÿ' a * — x* -f- a a arc ^sin = ;

donc

/dx ÿ' a* — x a = ^ [/a 1 — x* + ^ a a arc^sin == +C.

On voit par ces exemples que lorsqu’en général on a une expression telle que / vdu , l’intégration par parties fait dépendre cette intégrale de celle de / udv , et que , par conséquent, cette méthode d’intégration n’est pas toujours applicable. ,

De l’ intégration par les séries.

283. Soit Xdx une différentielle dans laquelle X représente une fonction de x ; si l’on développe X en une suite

Ax“+ Bx f -f- Cx v -{- 0 x^- 4 * Ex* -J- etc., ordonnée par rapport aux exposans «, ff, y, etc. , on aura

/Xdx = / (Ax* 4 - Bx^-f- Cx 1 * -f- Dx J -f- Ex* -f- etc.) dx Ax“ +,n . Bx f+ ' . Cx >+1 . Dx^ + ' . Er ,+ '

-f-etc.+G •