Prenons pour exemple

dx

, qui est la différen-

trclle de log(a-f-x) : on écrira ainsi cette fraction... X dx, et ils’agjra d’abord de trouverle développement

de — , ce que l’on fera an moyen delà division -, mais sans effectuer cette opération , on peut déduire le développement

(*) Si l’un des exposans *, f , y, etc. , e'tait égal A — t , on intégrerait ‘ par logarithmes le terme qui en serait affecte'.

l88 CALCUL INTÉGRAL,

cherché d’une formule facile à retenir : c’est celle-ci,. »

— - — = 1 -j- *-f- a* + z 3 + z *■, etc.... (10) (*).

En effet , on peut écrire la fraction

de cette ma-

niéré :

alors , pour obtenir le développement de

, il suffira

de changer z en *— - dans la formule (îo) , et l’on aura

donc

-tt CL CL % Û? ' *

x * ° U c-f-x a a? a 4 + etc *î

par conséquent dx

et, en intégrant chaque terme en particulier, on obtiendra

/ • dx x x x , x? , „ , s

— : — — r -f- =-, — etc. -f C. . .(il);

# (*) Cette formule ayant e'té trouvée par la division , on pourrait croire qu'il vaudrait mieux diviser de suite i par a ■+■ x j mais j’observe que lorsque la formule proposée esf gravée dans la mémoire , il est moins long d’en déduire divers développemens que de recommencer chaque fois le calcul.

«t, en observant que le premier membre de cette équation est une différentielle logarithmique , art. 272 , on aura

log (a -f- x) = ^ “i ~h g~3 e tc. + C. . . (12).

Pour déterminer la constante , nous remarquerons que lorsque x=o, cette écpiation se réduit à log a = o + C ; substituant cette valeur de C , l’équation (12) deviendra

log(a4-x) = logc + ^ — ^,+ £3— etc. (*).