Pour second exemple, cherchons à intégrer par le
séries ■ — : en écrivant ainsi cette différentielle
X dx, il s’agira de trouver le développement de
— q-— . Pour cela, en comparant cette expression à
(*) Observons qu’en déterminant ainsi la constante , on ne la regarde plus comme arbitraire, puisqu’on faisant 1 = 0, dans l’équation (ia), la constante est nécessairement égale au logarithme de a. LA où cette constante a pris une valeur déterminée , c’est lorsqu’au lieu de nous
avons mis log (a -f- x) : en effet, l’équation fil) nous montre que
——est, eu général, la différentielle de C-+- — ~b etc. : or, la
JC JT*
suite log a + -f- etc. , qui est le développement de log (a -f-x),
est un cas particulier de la suite précédente : c’est celui où C =: log a.
J "» dx
— , c’est donc n -f- x
comme si on eût choisi parmi toutes les suites qui sont l’intégrale de
' dx ^
, celle où la constante est égale A lue. ri.
ri-f-x’ s s
Cette remarque pent s’appliquer aux autre* expressions que nous allons
intégrer par les séries.
igo
nous aurons z — — x 3 ; substituant cette valeur dans l’équation ( io) , nous trouverons
= 1 — x 3 4 -x* — x® -J- etc. ... (i 3 ) ;
donc
dx
x s - 4 - -g- — + etc< • • " + C,
ou plutôt, article 278,
arc (tang = x)=x — ^ + TJ 5 — “-4- etc - ^ 04 )*
Quand x = o , l’arc devenant nul , on a C = o.
a8S. Si la tangente est plus grande que l’unité , les termes de cette sérié allant en augmentant , on ne pourra donner une valeur approchée de l’arc -, dans ce cas , on obtiendra
une série descendante : «n opérant ainsi, on fera x = dans l’équation (i 3 ) , ce qui la changera en
~T 1 “ x 3 xi x* etC ’’
multipliant les deux termes du premier membre par x 3 , on aura
divisant par x*, on obtiendra
(*) On parviendrait diriciement an même résultat en divisant 1 par a* + 1.
donc
/^T=/(? -à + i?” à + etc -) d * + C ■’
et , en effectuant l’intégration indiquée ,
arc (tang=x) = — ^+^5 — g^ + etc. +C (i5).
Pour trouver la valeur de la constante, nous ne ferons pas x = o , car alors les termes du second membre de l’équation (i5) deviendraient infinis; mais en faisant x=oo, l’expression arc (tang = x ) sera égale au quart de la circonférence , et l’équation (16) deviendra A circonférence— o-\-C ; et en représentant par £ *■ le quart de la circonférence , l’équation (1 5 ) nous donnera
arc (tang = *)=!» — ^ + ^-5^5+ etc.
77 = ^ =; = ( I ~ x ’)~ 3 dx »
on développera (1 — x a ) *, par la formule du binôme , de la manière suivante : on calculera d’abord les coefficiens da développement de (1 — x*)™, dans l’hypothèse de 7»— — en écrivant pour former ces coefficiens , .
