La formule (16) peut servir à trouver une valeur
approchée de la circonférence ; car en faisant x = - . elle
se réduit à
aw(’«n=lV i + î -l- J !î4-ï.7.i.-+I - - i — 4. etc • V ij a a i a^a 4 5 ij (i 7 a» + '
or , le sinus qui a pour expression, - , étant égal à la moitié
du côté de l’hexagone régulier, comme ce sinus répond à la douzième partie de la circonférence , nous aurons donc
circon f 1 . 1 11 3 1 1 i 3 5 1 i
~a' t V 3 V i " a‘ 4 ’ 5 ' a s ~ f ' ü-/-h ^-^ +etc ' 4
Jst .. SatâEHg*- • »
Sg 4 tALCUL INTÉGRA*!..'
et par conséquent
/i.m'.iïi 1 1 3 5 1 îN .
■circonf.zzizl - J— •5.11 — • "îH — • 1 + etc. ,
si l’on prend les dix premiers termes de la suite
î.ix 1 ,
— I — . 5 . -j -f- etc. , a a 0 a 3
on trouvera donc
* circonférence = 6 (o, 5 a 35 g 877 ) =3, îfa 5gaS2 ,
valeur dans laquelle l’erreur ne porte que sur le dernier chiffre décimal.
ago. Nous avons trouvé , art. 284,
* lo s («+*) = Io ë aJ t-- a — S + fe*“ etc-
Cette série étant peu convergente , faisons x~— x\ nous aurons
l°g (a— x) — log a— j etc. ;
retranchant cette équation de la précédente, cela nous donnera
log(u + x)— log(a- x)=a + etc.),
ou
ag 1 . Pour déterminer , par exemple , par cette formule, le logarithme de a , on supposera
fl-f-.T a
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Intégration éar lès sériés; et par conséquent
donc
-,etc. ;
substituant, on aura .
io S3 = 3 (j + 3-.i + g.^3 + «c.).
En se bornant aux dix premiers termes de cette série, ré* duite en décimales, on déterminera la valeur du logarithme de 2 ; triplant ce logarithme, on aura celui de a 3 ou de 8. Si d’une autre part on calcule par la formule (î 8) le logarithme
de et qu’on ajoute ce logarithme à celui de 8 , on aura
le logarithme de ^ X 8 = log lo. On voit que par des procédés analogues, la Formule (i8) donnerait tout autre logarithme ; mais il est à observer que ces logarithmes sont des logarithmes Népériens. Pour en déduire les logarithmes tabulaires, si nous représentons par L« le logarithme tabulaire d’un nombre a, nous aurons a = 10 ^“; prenant les logarithmes Népériens, cette équation nous donnera
loga=log io La =Lalog io:
, 9 . JA. màd
et par conséquent
La
log ÎO ’
c'est-à-dire qu’un logarithme tabulaire d’un nombre est égal au logarithme NépériAi de ce nombre, divisé par le logarithme Népérien de io*
ogo. On a trouve une sérié encore plus convergente que celle qui nous est donnée par la formule (18), pour déterminer un logarithme. Voici de quelle manière on peut la déduire de cette formule :
ÎJgè CALCUL IKTÉGRa’L;
En divisant a -f- x par a — x , on trouve a + x
ax
représentons par - la fraction -■ ‘ ; on a l’équation
et, en multipliant par a—x , il vient
av vx
tous les x étant transposés dans le premier membre, on obtient
, vx av •
multipliant par z , on trouve
asx -f- vx = av y
et par conséquent ,
a az-t- v*
substituant les valeurs de e t de — dans la formule (i8î, on a ce a—x a
résultat
'"<^)=<^ + 3i=Trr.+5
et enfin , ,
105(2 + ^ log^ a (“h + 3RTTÏÏT+ + ctc ')‘
Par exemple , pour avoir le logarithme de a , on fera v = i , z — i , et par conséquent log 2 = 0 ; substituant ces valeurs dans la formule précédente , on obtiendra
log a = a -f- 3 — ■+• — •+■ etc.
Il faudra diviser ce logaritbr.e par le logarithme Népérien de io, art. agt , pour avoiç le logarithme tabulaire de a.
MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES. lgj*
De la méthode des fractions rationnelles.
ag3. Proposons-nous d’intégrer l’expression
Px m -f- Qx m— 1 ... -h Rx -f- S
dans laquelle le multiplicateur de dx est une fraction rationnelle ; nous allons démontrer que dans l’expression donnée on peut toujours supposer que n surpasse m ; sur, si cela n’était pas, l’intégration pourrait être ramenée à celle d’une différentielle de même forme , dans laquelle la plus haute puissance de x du dénominateur surpasserait la plus haute puissance de x du numérateur; pour cela il suffirait d’effectuer la division comme dans l’exemple Buivant.
Soit
PxM-Qx*-f-Rx+S Q'x*+RV+S' ’
en divisant d’abord tous les termes par Q', on aura
faisons
nous aurons
W+QV+R'x + S' x’ + R-x+S* =
Di
1*8 CALCUTj INTÉGRAI,:
On effectuera la division de la manière suivante :•
PV+Q'^+R'^+S" |xN-R"x-f S*- — P'x 1 — R-P‘x a — P"S*x | ~ ~P"x + M ‘ .
i* r reste. (Q" — R*P* )x a -+- (R" — P"S") x + S*;
représentons par M et par N les coeffioiens de x* et de x K
le. i er reste devient Mr 1 -f. Nx -f- S".
S uite de la division — Mx* — MR'x — MS",
« second reste (N — MR* )x -f S" — MS";
on peut représenter ce dernier reste par Kx -f- L , et alors, on a
PxM-Qx»4-Rx+S
Q'x“-f-R'x+S' ^(P"x+M)dx+
(Kx-f-L) dx x*-fR*x+S* 1
çt en intégrant, on obtient
’Px 3 +Qx» + Rx + S __ x' Q'x a -f-R'x + S' ÛX — a +J>13?
(Kx -f- L) dx x^+R-x + S 3
SÎnsi la question est ramenée à intégrer
(Kx -f- L)dr
x* + r-^hTs 5 '
2.94- R résulte de ce qui précède que quelle que soit lafraction rationnelle que l’on considère, son intégration peuttoujours etre ramenée, dans le cas le plus général, à. celle de
- Px n -’4-Qx*- a ....4.Rx + S j P'x" + Q'x"- 1 . . . .-f-R'x-f-S' '
Çn regardant le dénominateur de cette fraction comme
MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES; ig^
Ife produit d’un nombre n de facteurs , tels que or — a, x — b , x — c, etc. , ces facteurs peuvent être réels ou imaginaires , égaux ou inégaux.
Pour commencer par le cas le plus simple, nous I -s supposerons réels et inégaux, et alors nous opérerons comme dans les exemples suivans.
: décom-
posant le dénominateur en ses facteurs , on écrira
adx • adx
et l’on supposera
adx /A B
A et B sont deux constantes qu’il s’agit de déterminer. Pouroet effet , réduisant le second membre au même dénominateur, on obtiendra
adx (Ax + Aa + Bx — Ba)dx
Supprimant le diviseur commun (x— a)-(x -f-o), et le facteur dx, il restera
a =Ax + Aa 4" — Ba . . . (ao) ;
et , en ordonnant par rapport à x, on aura (A + B) x + (A — B — î) a = o.
x ayant une valeur indéterminée , ainsi que le suppose (*)
o(Üæ
2g5. Proposons-nous d’abord d’intégrer —
(*) En effet, la caractéristique d, qui procède x, annonce que x est. considéré comme variable. %
la différentielle proposée, cette équation a lieu, quel quo soit a?; par conséquent, d’après la méthode des coefficiena indéterminés , on égalera séparément à zéro les coefficiena. des différentes puissances de x ; ou , ce qui revient au même , on égalera entre eux les termes qui, dans l’équation (20),. contiennent les mêmes puissances de x , et l’on aura
) 1 ces équations donnent
En substituant ces valeurs dans l’équation (t 9), on aura . donc •
«dx Adx
eten intégrant, on trouvera
/ ’ adx '
= ï lo S ( x - «> — i log (x+a) + G, et par conséquent ,
Pour second exemple , prenons la fraction — bx *dx- lea . a*x — .x 1
facteurs du dénominateur sont.x et a*— x \ et commô
— x 2 se décompose en (a— x)X (a-f-x>, les facteurs simples du dénominateur sontx, a — x, et a-f-x: doue 1 expression à intégrer est a
c 3 -f - bx 2
x(a — x') (a -j-xj dx :
MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES. SOI
je fais
a 3 -+-ix*
’• . . (ai) j
x(a — x)(a-f-x) x a — x a-f-x’ réduisant ces fractions au même dénominateur , il vient a 3 -f- bx* A a* — Ax'-\r Bax-4-Bx J + Cax—Cx*
égalant entre eux les coefficiens des mêmes puissances de x , on aura
B — A — Cxxb , Ba-4-Ca = o, A a* = a 3 .
La dernière de ces équations nous donne A = a, ce qui réduit la première àB — C = a-^- b.
Cette éguation étant combinée avec la seconde , on obtient
ipettant les valeurs de A, de B et de C , dans l’équation (ai), on trouve
a 3 + 6x* , odx . a + b , a-\-b ,
■ — ! dx = — dx dx;
nx — x 1 x ‘ 2 (a — x) 2 (a -f* x)
donc, en intégrant,
dx = a log x — ^ 1°S ( a — x ) (*)
log(a+x) + C
( * ) Pour prendre l’intcgwde de de o — x est — dx , il faut écrire
et l’on voit qoe l’intégrale sera — — ■ log [a — x) + C.
dx, comme la différentielle
= a log x — [log (a — x) 4- log (a -f- x)] -f C
— a log x log (c — x)(a + x)<4-C
s= a log x — ^ log (a* — x*) + C
= a log x— (a-f* b) log \/ a* — x 1 -f- C.
sgS. Pour troisième exemple , soit — - — » — —5 dx;
j oc À — — bx+o
Comme il s’agit d’abord de décomposer le dénominateup- «n facteurs du premier degré , nous remarquerons que si l'on a une équation de même forme , et représentée par z* — 6z + 8 — o , et qui soit satisfaite par les val^irs z — aet z = 4 ', on sera en droit de conclure qu’elle équivaut aupfoduit (z — a) (zj— 4 ) — o. Or, en effectua^ la multiplication , on voit que quelque valeur que l’on attribue à z , le produit sera toujours z“ — 6z -j- 8 ; donc , ‘lorsqu’au, beu de z nous mettrons x , nous aurons encore
Par conséquent*, quelle que soit la valeur du polynôme x‘ — 6x + 8, il peut se décomposer en facteurs copmie s’ilétait égal à zéro.
Ayant donc trouvé que les racines de l’équation.... x 3 — 6x -j- 8= o sont a et 4> nous écrirons
dx =s
Adx
et en supprimant le facteur commun dx , ce que nous au-rons toujours soin de faire à l’avenir, nous trouverons ,, après avoir réduit au même dénominatear,
3x — 5 Ax — 4 A -f- Bx — sB
Bdx
MÉTHOBES DES FRACTIONS RATIONNELLES. 2o3 égalant entre eux les coefliciens des mêmes puissances de x, on obtiendra ces équations de condition ,
5=— 4A— aB, 3=A+B, d’où nous (itérons
mettant ces valeurs dans l’équation ( 22 ) , on trouvera
r 3x — 5 1 r dx 7 r àx .
J x* — 6x- f 8 âj x-2 r aJi-4 T
= -log(x — 4) — ^ log(x — a) + C.
