X, CL

Bdx aT— -6’

etc. ;

MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES, l’intégrale cherchée sera donc

A log ( x — a) -f Blog (x — b) + etc. -f- C.

Hÿÿ. La méthode qne nous ayons suivie, lorsque les racines du dénominateur sont inégales , ne peut servir si parmi ces racines , que nous supposerons toujours réelles , il y en a d’égales. En effet, nous avons vu que, dans l'hypothèse des racines inégales, on pouvait écrire

Px* -f- Qx 3 -f- Rx a -4- Sx -+- T (x — à) (x — b) (x — c) (x — d) (x — e)

si plusieurs de ces racines étaient égales , si , par exemple ’ on avait a = b = c , l’équation précédente deviendrait

Px< + etc. A-fB + C D E

Alors , en réduisant le second membre au même dénominateur , A -f- B + C pouvant être considérés comme une seule constante A' , on voit que les trois constantes A', D et E ne pourraient suffire pour établir les cinq équations de condition qu’on doit obtenir en égalant entre eux les coefficiens des mêmes puissances de x.

3oo. Pour éviter cet inconvénient, cherchons à décomposer la fraction

Px< -f- Qx 3 -f- etc.

(x — a) 3 Çx — d) (x — e)

en un autre assemblage de fractions , qui, réduites au même dénominateur , puissent la reproduire.

CALCUL INÎÉGRÀt;

io6

Supposons donc

Px* + Qx 3 + etc. A+Bx+Cx* D Ë

De cette manière , en réduisant le second membre de cette équation au même dénominateur , nous aurons un polynôme en x du quatrième degré , qui renfermera cinq constante» arbitraires -, ce qui suffira pour établir l’identité des termes affectés des mêmes puissances de x. Maintenant je vais démontrer que le terme

A + Bx + Cx»

peut se mettre sous la forme

A', B', C', étant des constantes indéterminées. Pour le prou» ver , soit

on a

donc

A Bx + Cx 1 A -f- Ba -j- C a 1 -f- Bz-|- aCaz -f- Cx*

A "4“ Ba 4" Ca* B -4~ sa C

mettant la valeur de z dans cette équation , on obtiendra

A 4- Bx -4- Cx 1 A4 - ® a "4 - C aI i B-f*aCa t C

résultat de la forme prescrite , puisque A', B', C' sont des constantes.

Cette démonstration pouvant s’appliquer à une équation d’un degré plus élevé , concluons qu’en général , on peut supposer

MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES

Px"*- 1 + Qx m ~*. ..+ Rl + S (x— a)"'

(x— âÿ'~ r (x— a) m - 1 1 (x — fl)”"*”' 1 (x — a)

Il résulte de ce qui précède, que pour intégrer l’expression Px*- 4 -et«.

on supposera

(x — a) 6 (x — d ) (x — ej Px* + etc.

dx.