A A' , A» D JE

(x — ~af (x — a) 1 ' ' ' ' (x — a) ‘ (x-~ t 7 )‘(x — 1

réduisant ensuite les fractions au même dénominateur, on déterminera les constantes A, A',.... A“, D, E, etc., parla procédé que nous avons déjà employé , et l’on aura ensuite à trouver les intégrales des expressions suivantes :

dx, jdr , dx, ; dx, . dx.’

~ — d x — a (x — a)* fx —

Les trois premières s’intégrent par logarithmes ; à l’égard des deux autres , comme dx est la différentielle de l’expression x — a, renfermée entre les parenthèses, nous supposerons (art. 270) x — a = z, et nous aurons

1 A'dx

[x—ay

■A'dx

donc enfin

Pr 4 -f- Qx 3 •+- etc.

*A'ds

: fA'z~*dz = —

’A"dz

:f A’ z~ 3 àz — —

Al —

fl

•*••+• A" log (x— o) -f- D log (x — d) -f- E log (x — e) -f- constante. t

ao8 CALCUL INTÉGRAL.

3oj . Prenons pour exemple la fraction *

2 axdx

' . (!+«)■’ nous aurons

a ax A A'

réduisant le second membre au même dénominateur, et supprimant ce dénominateur commun, il reste

2 ax = A -j- A'x + A 'a ,

d'où l’on déduira ces équations de condition

elles donnent

— aa*;

par conséquent

aaxdx

2 a’dx t

2adx

Pour obtenir l’intégrale , remarquons que dx étant la différentielle de x-4 -a, nous pouvons supposer x-\-a—z‘, donc

fi

2axdx ,ds , dz.

— - — = — aa a — + 2a — (x4-o) , z* z

intégrant la première fraction du second membre par la règle de l’article a6a, et l’autre par logarithmes , nous obtiendrons

29xdx na’

— haalogs+C;

Çx + a)* et en remettant la valeur de z ,

/ ’ 2 axdx (x -j- a)*

+ aa log (a 4- x) 4- Cl.

MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES. 209 3oa. Pour second exemple, cherchons l’intégrale de

x°dx

en égalant à zéro le dénominateur , on voit que tous les termes se détruisent dans l’hypothèse de x = a ; donc l’équation x 3 — ax? — a\r-+-a 3 est divisible par x — a»

En effectuant cette division, on trouve pour quotient x a — a“ ; ainsi la quantité à intégrer est

x a d c x*dx

x*dr

Nous supposerons donc

réduisant le second membre au même dénominateur, on obtient

(x — a) a (x-fa) (x-f-a)(x — a)* : *

développant et égalant entre eux les coefficiens des mêmes puissances de x, on obtient ces équations de condition :

A' + B = i, A — qBo = o, A a — A'a a -f-Ba a =o....(25).

Si on multiplie la première par a*, et qu’on l’ajoute à la troisième , on aura

A a -+- 2 Ba“ = a a ;

celle-ci , à son tour , étant ajoutée à la seconde des équations (a5) multipliée par a , on trouve

e a = 2 A a et A = | a.

aïo calcul intégrai;

mettant cette valeur de À dans la secoude des équations (a 6 ), on obtient

et par conséquent la première donne

au moyen des valeurs de ces constantes , l’équation (24) » multipliée par dx , devient

x’dr

adx

3 dx

dx

adx

Pour intégrer

, , nous ferons x— a = z , et cette

, . , adz az~* , . ,

expression deviendra = — — ds , et aura pour mte-

m grale, art.

az

donc

'fl

x’dx

2z aXx — a)'

,+7log(x— a)

-f* ^ log (x + a) + constante.

- 3 o 3 . On opérera de la même manière si, dans le dénominateur, il y a plusieurs groupes de racines égales. Soit, par exemple ,

adx adx

Ix^—Tÿ ~ (x — 0“(x + 5

nous poserons ..i • ; .

Méthode des tractions rationnelles, an

•t , en réduisant au même dénominateur , nous trouverons

(x— iy (jc+i)*

supprimant les dénominateurs et développant les numérateurs , nous trouverons ces équations de condition :

2 A — A'—sB — B' = o,

La première de ces équation* réduit la troisième à Z A — aB=o, donc A = B; la seconde réduit la quatrième à a A -f- aB = a\ de ces équations qn conclut. ..

A = -=B, par conséquent la quatrième devient

® A- = a a ’> cette équation étant combinée avec la première , on trouve

Au moyen des valeurs de ce» constantes , la différentielle proposée devient

i „ T i . 4 ? dx , dx ~I

On intégrera les deux premières de ces expressions par les règles des articles 270 et 26a, et les autres par logarithmes, et l’on trouvera

/ * «<hr I r l

- log (x— 1) + log (x-f-i)J-fC.

31 a CALCUL INTÉGRAL.

3 o 4. Avant qne d’examiner le cas où le dénominateur contient des racines imaginaires , faisons quelques observations sur ces sortes de quantités : considérons d’abord l’équation

x*+px+<j=o... (27),

et cherchons les conditions nécessaires pour que les racines de cette équation soient imaginaires : en résolvant cette équation on trouve

La première condition nécessaire pour que cette valeur de x soit imaginaire , est que le dernier terme de l’équation (27) soit positif; car, s’il était négatif, l’expression — q , qui est sous le radical, changerait de signe, «t le radical n^affectant alors que des quantités positives , x ne pourrait être imaginaire. Cette condition étant remplie , x sera imaginaire , si q surpasse ^ p\ L’excès de

q sur - p * étant alors une quantité essentiellement positive ,

représentons-le par fi 1 ,' puisqu'un carré est toujours positif : nous aurons

faisons £==« pour éviter les fractions, cette équation deviendra

substituons ces valeurs de p et de q dans la proposée , nous trouverons

MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES. 2l3 Cette équation étant résolue , donne

ses deux racines sont donc

— » + fi\/— t et — * — -fi\/— i,

ce qui montre que ces racines sont disposées par couples, de telle sorte que l’une étant connue , fait connaître l’autre en changeant le signe de la partie imaginaire.

3o5. En général , une équation peut avoir plusieurs couples de racines imaginaires, et chaque couple donnera lieu 5 un facteur du second degré , de la forme

x* -1- 2 *x + * a -4* fi * . . . (3o).

3oG. Quelquefois les racines imaginaires sont égales , au signe près f c’est ce qui arrive lorsque « = o ; alors , l’une des racines est fi \/ — î et l’autre — fi l/ — i , et le facteur (3o), du second degré, se réduit à x* -f- fi *. •

307 . Pour donner un exemple d’une équation dont les racines sont imaginaires, je prends l’équation

x* — 6 cx -j- 10 a 1 = o ; en la résolvant , je trouve

x = 3 s± l/ — o*=:3a±fl l/ — 1 :

comparant cette valeur de x avec l’équation (ag) , j’ai — « = 3a , fi = a ; '

• donc , dans le cas présent , l’équation *(3o) devient •

x* — 6ax ga s -f- a*.

3c8. Au reste , quand on a une équation telle que x“ 4 1 + ia=o.

a»4 ' CALCUL INTÉGRAL.

dont les racines sont imaginaires (*) , on peut la comparer imjnédiatement à la formule (3o), et l’on a s* = 4, donc m* — 4 ; si l’on retranche 4 de î a , il reste 8 pour /3“, et l’équation proposée peut se mettre sous la forme

Le terme 8 , à la vérité, n’est pas un carré parfait; mai* alors on le regarde comme celui de \/ 8.

3og. Occupons-nous maintenant de l’intégration des fractions rationnelles dont les dénominateurs renferment, des facteurs imaginaires ; et , pour commencer par le cas le plus simple, considérons celui où il n’y a qu’une couple de racines imaginaires dans le dénominateur: supposons, par exemple, qu’après avoir décomposé le dénominateur en ses facteurs , on ait trouvé •

P -f- Qx -j- Rx* -|- Sx 3 etc. ,

on égalera, comme. nous l’avons déjà fait, art. 3oo, cette fraction à cette suite de termes:

Adx Bdx Hdx Mx-}-N

et ayant déterminé les constantes A, B.... H, M, N, par le procédé que nous avons* employé, tous ces termes, hors le dernier, s’intégreront par logarithmes; à l’égard de ce dernier , il s’intégrera de la manière suivante :

On remarquera que x“4-2«r 4 - * 1 étant un carré parfait, le terme à intégrer peut s’écrire ainsi :

Mx 4- N J