dx

(*) On le reconnaît lorsque les conditions de l'art. 3<4 sont remplies.

MÉTHODE DES TRACTIONS RATIONNELLES. 2ï5

Et , en faisant x -f - * = z > il devient

JVÏ z N — M<i ,

. —^PF—' dï;

et, en nommant P la partie constante N — M« , il se réduit à

Mi -f- P

dz ;

cette expression se décompose en celles-ci : > m

Mzdz Pdz

♦ ■ zF+g* + z 1 + s*' .

Pour intégrer la première, nous observerons que zdz étant la différentielle de z* -f- / 3 *, à an facteur constant près , on peut, art. 271 , supposer z s + / 3 1 =y > ce qui nous donnera , en différenciant ,

, ày zdz = — ; a

substituant ces valeurs , nous obtiendrons — % , dont 1

sy :

tégrale sera*

“ Îog^ = ” log (z a + g*) = ?? log K* + * 0 *+ *1

. . = ™log(x* + OMX + •* + g 1 )

sas M log (i a -}-2«x -f-« a + g*)* •

= Mlog [/ ar'-i-SKX

în-

A l’égard de l’expression

Pdz

• , en divisant ses deux

termes par G *, elle peut se mettre sous cette forme :

aiG CALCUL intégral;

et l’on voit que son intégrale est

ë arc

(tang=|^ = :

arc

(tan g

donc, enfin,

Mx + N

* fl* + 2«X + « 3 -+.T»

=Mlog \/ x a +a«x4 « 3 4C 2 +^-^arc(tang==~^^...(3i)

3io. Prenons pour exemple la fraction dx : le

dénominateur ayant x— -»i pour facteur, nous trouverons l’autrefacteur par la division , et la fraction proposée pourra se mettre sous la forme

a ■+■ bx

dx;

x* + x -f* 1 étant le produit de deux facteurs imaginaires ainsi qu’on peut le reconnaître en résolvant l’équation x 3 -f- x -4 1 = o, nous écrirons

a -f- bx .

’Mx + N

réduisant au même dénominateur et opérant comme nous Tarons indiqué , nous trouverons

4 a + b „ (a-M) w b— na

nous décomposerons ensuite le facteur x 3 -\-x -\- 1 en facteurs simples , en le comparant à l’expression (3o), ce qui nous donnera

MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES

et par conséquént

substituant ces valeurs et celles de M et de N , dans l’équation (3i), qui nous donne la seconde partie de l’intégrale» et observant que la première est

Ad.r

x— i nous trouverons

/ Ca+Ax)dx n+A, , , (a+ft. .

x 3 — 1 — ~ 3 ~ lo S( r — O g— ; log \/ x'-f-x-f-i

H ^ arc

3i i . Lorsque la fraction aura dans son dénominateur des facteurs imaginaires égaux , elle contiendra un ou plusieurs facteurs du second degré, de la forme (x*4-2«x4« a -|-? a )r, suivant qu’elle renfermera *un ou plusieurs groupes de facteurs imaginaires égaux. Le facteur

(x 1 -f 2 mx + «* + c*y.

correspondra à cette suite de termes :

(x'4-8«r + »4»‘) rl " ' x'*4-2«x4-« a + ; et ayant opéré de même pour les autres groupes de facteurs

‘Dig MfGoogle

âl8 CALCUL INTÉGRAL.'

égaux , on déterminera les constantes

H, K, H', R', H", K*,.. . H,, K„ etc., comme précédemment.

On multipliera ensuite par dx , et il ne s’agira pins que d’intégrer chaque terme séparément, ce que l’on pourra toujours faire lorsqu’on saura intégrer le premier terme de la suite ( 3 a) multiplié par dx, puisque tous les autres sont de même forme. Pour cet effet, nous écrirons ainsi ce terme :

H-f-Kx

[(x+.)* + C*]' dX; faisant x -}- # r= z, il deviendra

H — K« 4 -Kz (C’-i-zy ds;

et , en nommant M la partie constante H — K« , on aura à intégrer

M + Kz j (£* + <>'

Cette fraction pcuj se décompos* en ces deux-ci :

Kzdz t Mds

Pour intégrer la première , comme zdz est la différentielle de à un facteur constant près , nous supposerons

z* -f- £* —y, (art. 371), et nous aurons zdz = j dy ; substituant, on obtiendra

MÉTHODE DES FRACTIONS RATIONNELLES

¥1 ... Mds

Il nous reste a intégrer ^ + z* y’

; , OU plutôt ,

Pour parvenir à cette intégrale, nous la déduirons de celle de /(£“ -f-z*ydz, de la manière suivante :

En diminuant l’exposant p d’une unité , c’est diviser par par conséquent, en multipliant en même temps par la même quantité , nous aurons l’équation identique

(£»+ 2 ,*)/-dz= (f-f-z,’/- 1 (f'-f z a ) àz-,

et , en exécutant la multiplication indiquée dans le second membre , il viendra

(ff a + z'ydz = ff a (C a + z a )?-'da + (C* + *»)r-' z ‘dz intégrant , on aura

/(£ a + zydz= f a /(ff ! ■+ »*y-*ds + J\Z'+ z*)^*2'dz. . .(34) .

Des deux intégrales qui sont dans le second membre de cette équation , nous laisserons la première sous le signe qui l’indique ; à l’égard de la seconde , nous y appliquerons l’intégration par parties. Pour cela , en multipliant et en divisant par 2 l’expression (S“ -f- z' 4 y~ ‘z*dz, nous l’écrirons ainsi :

l (*• + a»y-22dz...(35); •

alors (Ç a + z a )'’ — ’asd z sera la différentielle de ; — ,

de sorte que l'expression (35) deviendra

• Cl j

en la comparant à la formule

fuàv~uv — fvdu,

S30 CALCUL intégral:

nous ferons

et nous trouverons

J a # ap J p a

Substituant cette valeur à la place du dernier terme de l’équation (34) , et mettant les constantes en dehors du signe d’intégration , cette équation (34) deviendra

/(î 3 + zydz= C s + z*)P-’d z

transposant le dernier terme dans le premier membre-, et réduisant , on trouvera

— ^ -- P -/tf'+z x ydz = | +S s /(C*4 -z^r-’dz;

on tire de cette équation

/( C.4.aOP->dz==-^(ff*+z;y+^/(C»+z«ydz;

faisant p — î = — p , et par conséquent p— r — p, on a enfin

f(S' + z')-?dz

=-.ir

Au moyen de cette formule , on fera dépendre l'intégrale de (ff* -f- z 3 ) - Pd», d’une autre, dtfns laquelle la valeur numérique de l’exposant, au lieu d’étre p, sera moindre d’une unit® ; par la même formule, on fera dépendre ensuite l’intégrale de (C 3 + r > )-0’— Odz, de celle de *^dz.

MÉTHODE DES FRACTIONS RATtONNFttES. 23»

ainsi de suite; de sorte qu’après chaque substitution , l’exposant de la partie intégrale diminuant d’une unité , il ne restera plus en dernier lieu qu’à intégrer l’expression

(ff‘+*0- ,d *=j“î

or nous avons vu , art. 277, que l’intégrale de cette expression était

^arc(tang = 0.

On ne cherche pas à fairedépendrel’intégrale/Çff’-l-z 1 ) - *dz,' de celle de f(Z 2 -f- z a )°dz , quantité qui se réduit à z; car, si dans la formule ( 36 ) on faisait p = 1 , le terme

ï * VT • -

deviendrait infini.

3 1 3 . Il résulte de cette théorie , que l’intégration de toute

fraction rationnelle ne dépend que de ces trois sortes de *

formules :

1 •. /*"d t = 7 ; a -.y=lo 5 Cx + «);

3 "-/?qb=: arc ( ,aD8= ;) ;

c’est pourquoi on dit que toute fraction rationnelle peut touiouts s’intégrer ou algébriquement, ou par logarithmes , ou par arcs de cercle, ou par le concours de ces moyens.

3 14. Nous terminerons cette théorie par un exemple qui renferme tous les cas : soit donc la -fraction rationnelle

Px B J 1 4- P".r in— “ -f- etc

Rit' R". . .SS'..TTr...LU'... ùx>

« dans laquelle on a

X > facteurs réel» inégaux ;

S' — (a: — d )*, > facteurs réels égaux;

T =x*-ln ! e*r 4-« l + CM

T' = x' -f- 2*'jc-f- «'*-^5'*, > facteurs imaginaires inégaux;

Ü^Cx’+a-^+V+C’y,-)

[ facteurs imaginaires égaux;

on supposera •

Px n 4- Fx m — + PV^-f- etc. ABC

RR'R^SS'TTTr. . . UU' . . . — x— a~*~x^l~*~ x— c

+ + (x — e) m ~‘ + (x — , + 6tC -

’ . G -)- Hx K 4- Lx

l ! i ! i etc

M-fNx

, P + Q* ‘ (xM-a-.x+V+C/)’

+- etc.

J-etc.;

MÉTHODE DÉS FRACTIONS RATIONNELLES. Sa3

et ayant réduit au même dénominateur, on opérera comme nous l’avons expliqué.

De F intégration des fonctions irrationnelles.

3i5. Lorsque dans une expression différentielle , qui contient des radicaux, on peut, à l’aide d’une transformation, faire évanouir les radicaux , l’intégration sera ramenée à celle des fractions rationnelles.

On peut tou'ours faire évanouir les radicaux qui n’affectent que des quantités monômes : le procédé que l’on emploiera , pour y parvenir , sera le même que celui dont nous allons faire usage dans l’exemple suivant :

Soit

y/ x — 3or

dx,

ou plutôt

on réduira les exposans fractionnaires au même dénominateur , et ayant trouvé que le dénominateur commun est 6, on supposera x= a 6 , alors on aura

y/x = z 3 , J/æ = s‘, dx=6z 5 ds;

substituant ces valeurs, on trouvera

z 6 — 3 az 3 î — a

on intégrera cette expression par la méthode des fractions rationnelles, et on substituera ensuite dans l’intégrale la valeur ie z en x.

3i6. Il n’en est pas de même lorsque le radical affecte un polynôme ; cependant on peut intégrer toute expression

calcul intégral:

en x, qui renferme j/ A -f- Bx •+- Cx*, c’est-à-dire toute expression de la forme

F(x, V^A-f-Bx 4- Cx a )dx.

Il peut arriver deux cas : le terme Cx 2 sera positif ou négatif; s’il est positif, on écrira ainsi le radical,

si ce terme est négatif, nous le regarderons comme le produit de -f- C par — x*, et alors le radical pourra se mettre sous cette forme,

vc \/i +!*-**;

pour simplifier , faisons

nous aurons donc à intégrer les deux expressions

F(x, v/a-|- 6 x-f-x a )dx, F(x, \/ a -J- bx — x*) dx.

Occupons-nous d’abord de la première.

Notre but étant d’obtenir , par une transformation, les valeurs de x , de dx et de l/a -f- bx x 1 , en fonction rationnelle d’une nouvelle variable z, nous supposerons

l/a 4- 6x -f- x* = z -f- x (*).. .(37), parce qu’en élevant au carré , les termes en x* se d^jpiisant,

(*) On pourrait aussi égaler le radical k z — r , puisqu’on élevant le* deux membres au carré, les termes en x * s’évanouiraient également.

INTÉGRATION DES FONCTIONS IRRATIONNELLES. fla 5 il nous restera entre z et x une équation du premier degré , de laquelle on pourra tirer les valeurs de x et de dx en fonction rationnelle de z. Elevant donc l’équation (37) au carré , et supprimant les termes en x 1 , on obtient

a + bx = axs -f- a*. . . ( 38 ),

d’où l’on tire

au moyen de cette valeur, l’équation ( Zj ) devient

y/u + bx + *’ = r — ^ + z ;

ou , en réduisant au même dénominateur ,

y/ a- f- bx + x* = — ^ . . . (40).

Il nous reste à déterminer dx en z : pour cela nous dilFé* rencierons l’équation ( 38 ) , et nous obtiendrons

idx = nxda + nsdx + asd z ,

d’où nous tirerons

(b — 2z)dx = a(x + z) dz j

et si l’on élimine le radical entre l’équation (37) et l’équation (40) , on aura

. iz + a).

substituant cette valeur dans l’équation précédente , on trouvera

(i — 2z)dx = — ^( a bz-\-a) ^ ,

b — az

aa6

.'CALCUL JSTEGRAL.