Prenons pour exemple
dr
• x A + B x -f- Cx a *
nous écrirons ainsi cette expression :
dx
|/C X x V' a -j- bx -f- x* *
en faisant — =a et -= b. L’éqnation ( 40 > divisée par
Téquation (40), nous donnera, après avoir réduit, •
dx ada
Vo+ix + x* ~~ b — 2a’
et , en divisant par l’équation ( 3 g) , on aura
dx __ adz
x \/ a -J- bx -f- x a z% — a '
multipliant les dénominateurs par [/C , cette équation deviendra
dx' J ' dx __ adz
x[/Cy/ a-l-bj:-\-jç* x\/ A-f-Bx-f-Cx 4 (z 2 — a)|/C*
fraction qui s’intégre par la méthode des fractions rationnelles, puisqu’on peut regarder y/C comme une constante ordinaire. * . ‘•: ,t
3 i 8. Pour second exemple , prenons dx y/ m* -f- x“ : en comparant le radical à celui dé la formule (4o) , nous avons a = m 1 , b s= o , et en mettant ces valeurs dans les équa-
INTÉGRATION DES FONCTIONS IRRATIONNELLES. 227 lions (4o) et (40 , nous trouverons
dx =
dz-
donc (jff)
Lorsqu’on aura intégré cette expression rationnelle, on y substituera la valeur de z en x.
3ig. La méthode précédente ne peut être employée lorsque Cx a est négatif, car en opérant comme ci-dessus, on aurait
\Za+Bx—Cx*=\/C y/£ + | x x .
= [/C )/ a -\-bx — x\
Or, si nous supposions [/a -f- bx — x a = x-l~z l en élevant au carré les deux membres de cette équation , les termes en x a ne s’évanouiraient pas , et alors la valeur de x en z serait irrationnelle. Pouf traiter ce cas , nous remarquerons préliminairement que le polynôme a -f- bx — x*, est toujours décomposable en facteurs réels du premier degré (*).
(■') Pour le démontrer , nous écrirons ainsi ce polynôme
— (x* — bx — a),
et nous trouverons les facteurs de x* — bx — a ,en égalant à zéro cette expression, ce qui nous donnera
donc, par la propriété des équations
• x‘-bx-a=(x- h : -\/^+a^x-l + \/ b T +a') i
et puisque ,' par hypothèse , a représente une quantité positive , les fac-
Soient et et * les racines de l’équation x* — bx—- c = o ; nous aurons , d’après la propriété des équations ,
x® — bx — a = (x — «) (x — «'), et par conséquent, en changeant les signes c -f- bx — x“ = — (x — <*) (x — *') = (x — *) (<*' — x); substituant cette valeur dans le radical , nous supposerons l/(x— *) 0' — x) = (x — a) z... (4a) ;
■cette équation élevée au carré , nous donne
(x — «) (*' — x) = (x — et)* Z* } et, en supprimant le facteur commun , on a a.' — x = (x — «)s“. . . (43) -,
d’où l'on tire
donc
et, -en réduisant au même dénominateur.
cette valeur étant mise dans le second membre de l’équation (4a) , on obtient
leur» qui composent ce produit ne peuvent être, imaginaires. Au reste, sans résoudre l’équation jr* — bx — <t-= o , on peut conclure , d’après le signe de son dernier terme, art. 3o4, qu’elle a scs racines réelles.
INTÉGRATION DES FONCTIONS IRRATIONNELLES. 22y A l'égard de dx , il suffit de différencier l’équatipa (44) pour en obtenir la valeur en z , et nous trouverons
[zàz ...( 46 ).
3ao. Appliquons ce procédé à l’exemple dx
)/ a -\-bx — x 1
nous diviserons l’équation ( 46 ) par l’équation (45) , et noua
aurons
dx
[/ a -f-bx — x :
donc
dx
ndz
f / ■ t — = = ~ 2 arcs ( tan ë = z ) + c *
J y a + bx — x*
ou , en remettant la valeur de z , donnée par l’équation ( 42 )
/ dx / l/ (x — «)(«' — x)\
x ' x= r= C — * 2 arcs ( tang = — — ]
ÿ a -f- bx — x* V x — * /
= C — 2 arcs (tang = \J
3ni. Prenons encore pour exemple dr \/ aux — x*: en comparant ce radical à celui de l’équation (4 2 ), nous aurons « = o , *' = au , et les équations (45) et (46) deviennent
d *=— (jrxTÿ'k;
ces équations multipliées l’une par l’autre, nous donnent
, 8a*z*dz
z3o ■■ CALCUL INTÉGRAL.
expression qui s’intégre par la méthode des fractions rationnelles'.
De l’intégration des différentielles binômes.
5aa. Nous avons vu qu’un ni 03 ‘en très fécond pour intégrer des fonctions qui contiennent des radicaux , était de transformer ces fonctions en d’autres rationnelles, pour pouvoir y appliquer la méthode des fractions rationnelles.
La difficulté est de trouver la transformation qui peut être employée pour chaque cas; nous avons indiqué celle qui convient lorsque les radicaux ne sont que des trinômes, dans lesquels la variable ne surpasse pas le second degré ; ces sortes d’expressions étant très fréquentes dans l’Analyse , il était utile de faire connaître la transformation propre à les rendre rationnelles. Nous avons aussi donné un procédé général pour rendre rationnelles les fonctions qui ne contiennent que des monomes élevés à des puissances fractionnaires; nous allons examiner maintenant si, à l’aide d’une transformation , on peut rendre rationnelles les expressions binômes qui sont affectées d’exposans fractionnaires.
3s3. La formule générale des expressions binômes est
i. x*~' ( a -4- bx n ydx (*).
(*) L’expression binôme Ar' -i- Bx* étant un cas particulier de celle-ci , ( Ar r -4- c’est A cette dernière formule que nous rappor-
terons lés différentielles binômes ; nous pourrons lVcrire ainsi :
[ x' (A + Bar*-’ 1 )}/’ = x'P (A + B**— et , en faisant s — ri= n , rp= m — i , elle deviendra • '■ ■ « ar"- 1 * (A +Bt*)!’.
On a prc'féré remplacer rp par m — i , plutôt que par m , parce que tes conditions d’integrubiiiti! seront plus faciles à exprimer, comme nous le verrons.
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES BINOMES. ü5l Si p est un nombre entier, cette formule s'intégrera par
l’art. aSg ; mais lorsque p sera égal à la fraction ^ nous aurons
x m ~ 1 (a -J- bx n )ï dr. . . (47).
Pour rendre cette expression rationnelle, nous feron* a + bx n — zi . . . ( 48 ) ,
ou , ce qui revient au même , • *
(a + bx a )i = z y
et par conséquent
(a -f bx n Y = zf\ . .( 4 g).
L’équation (48) étant différenciée, nous donn» bnx "~' dx = qzi~'dz . . . ( 5 o) ; la même équation (48) étant résolue par rapport à x ÿ
on a
*=(rrf;
donc , en élevant les deux membres de cette équation à la puissance m , on obtient
différenciant les deux membres , mettant les constantes en. dehors , et divisant par m , on trouve
^'d x =^(-~r t ) a a ’ r,tk '*
s3a CALCÜL intégral;
substituant, dans l’équation (47), cette valeur ainsi que celle
de (a -f- bx n )*", donnée par l’équation (4g) , on a enfin
zr+P-'ds. (5i).
Cette expression est rationnelle lorsque — est un nombre
entier positif ; car alors ^ ^ est élevé à une puissance
entière , et l’on peut réduire l’expression (5i) à un nombre limité de monomes , qui peuvent s’intégrer chacun par l’article 26a ou par l’art 268. Si — est un nombre entier nér n
gatif, l’expression (5 1 ) devenant aussi rationnelle, on peut l’intégrer par la méthode des fractions rationnelles.
3a4< Prenons pour exemple l’expression
x 5 (a + 6x a ) 3 dx.
Dans ce cas , nous aurons
p — a, <7 = 3 , 771 — 1 = 5 , ou 771=6, n=a;
par conséquent la condition d’intégrabilité est satisfaite. Substituant ces valeurs dans l’expression (5i), nons aurons à intégrer
(z 3 — a)V dz = ^ T dz-^dz-h^ 3 z<dz;
donc
r s , , , , 3z'* 3ez* 3fl“z 5 „
/**<«+!*■) dx = -- p 7 -+j J + C;
on substituera ensuite dans ce résultat la valeur de z en x. 3a5. Pour obtenir une autre condition d’intégrabilité.
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES BINOMES. s53 écrivons l’expression ( 47 ) de la manière suivante :
et , en élevant les facteurs du produit + b^ x B , à la
puissance — , nous aurons
x m ~'x ’ f -f- by — x q (ax~ m -f- b) dx.
Or, d’après la démonstration précédente, il faut, pour que cette quantité soit intégrable, qu’on ait
ÜE
— = nombre entier ,
ou , en exécutant la division indiquée ,
— - 4 - - nombre entier .
3a6. Prenons pour exemple l’expressio* X*dxy/ a -J- bx 3 . En écrivant ainsi cette expression , , •
x 5-1 (a + éx 3 ) 3 dx ,
on a
m — b, n—3 , p= î, q — 3, par conséquent
*+îj = 3 + 3= aj
donc cette quantité est intégrable. Dans ce cas, on aura (art. 3a5) ,
' x 5 ” 1 (a -f- 6 x 3 ) ï dx=x 5 ^’ , ^3 + b^xàxi
et en réunissant les exposans de x, cette expression deviendra
x 5 (ax~ 3 + bfdx. . . (52) ; faisant ax ~ 3 -f ■ b — z 3 , nous trouverons
(ax~ 3 -f- bÿ — z, x~ 3 r
ou
la dernière de ces équations nous donne , a
d’où l’on tire, par la différenciation,
az'dz
a dr :
W-by’
multipliant entre elles ces deux dernières équations, on a
a a 2 *dz
ardx — •
(z 3 — bf*
cette valeur de x*dx , et celle de (ax~ 3 -f- b) 3 étant substituées dans l’expression (5a) , on trouve enfin
- x*(ax~ 3 + bÿ àx = - ,
expression qui est intégrable par la méthode des Fractions rationnelles. ( ; ■
Des formules de réduction des différentielles binômes.
327. Lorsque l’e'quation x m -'i\or(n +bx')r ne satisfait pas aux conditions il'intcgrabiliu que nous venons de prescrire, on peut y appliquer l’uitcgratifin par parties , de la manière suivante
FORMULES DE RÉDUCTION DES DIFFÊR. BINOMES. 235 En comparant la formule fx m -'àx{a + bx n )r, au premier membre de l'equation
fiu\v = u? — fvdu,
nous supposerons
(a *4-bx n )P-=u t x m ~*âx — df* : donc i/==— ; v ' rn
et nous aurons, en mettant les constantes en dehors du signe d’integration ,
pnb
f x m -'Ax(a+bx , )es={a+bx n y~ — / x m [a-+bx$r-' x*~'<ix ,
ou , en réunissant les exposans <lc x , •
f x‘* m 'dx(a-1-lx m )r=(a-\-bx m )l’~~ x m + n ~' (a+bx n )P-' dx...(53) ;
«l’une autre part, on a l’équation identique
(a + Ai*)f=((i -f- bx’)P~’(a'-hbx’), et , en exécutant la multiplication indiquée , cette équation donne (a ■4-bx n )T=za(a + bx , )r-' -4- bx n (a -h bx")r~’ j * multipliant les deux membres par xa’-'dar, on trouve
fx m ~ 'Ax(a-^-bx n y—afx ,, ~ 'd:r(<i-f-iar”y — '+bfx m + , ~ * dx(a-t-bx*)r— '....(54). Au moyen de cette équation , on peut éliminer le dernier terme de l’équation (53) ; car si on multiplie l’cquation (54) par — , et qu’on l’ajoute à l’équation (53), on trouvera
x m -’dx(a-t-bx''y—(a-}-bx m y — -î-——fx m — 1 dx(a-i-bx m )l‘- , i
multipliant par m et divisant ensuite par le facteur constant du premier membre, on obtiendra
f x m ~'dx(a+bx n )f=y-— (a-i-bx n )P-i- ^" a ~ fx m ~' àx(a-i- bx*)r~ ‘...(55).
1 (m-hpn) ' m-+-pn
Par cette formule on pourra donc faire dépendre l’intégrale de... tr"-'dr(a •+■ bx m )f , d’une autre dans laquelle l’exposant qni affecte laf parenthèse sera moindre d’une unité. •
Si dans cette formule on met ensuite p — 1 5 la place de p, l’intégrais
236 CALCUL intégral;
de x—'Ax(a+hx*y-' dépendra de Celle de 'dx(a 4 . bx*y-* ; par
im meme procédé, celle-ci, à son tour, dépendra de celle de.’
a-" 'dar(a-f- etainsidesuite : de sorte que l'exposant de la parenthèse sera successivement p, p - , , p - a, p 3 ..., p-„. ( Par nou ,
leprcsemonsle plus grand nombre entier contenu dans p que nous supposons fractionnaire. Si l’on peut obtenir l’intégrale de x"*-’d.r(/i 4 A;r»)?-" on aura celle où l’exposant de a + bx' est plus fort d’une unité, et ams. de suite, jusqu’à l’intégrale de *— 'dx(u 4 bx’.P, qu’on obtieudra de cette manière, en un nombre limité de termes algébriques.
3a 7 . Si p étaifrnégatif , l’équation (55) donnerait
Cr — . d Xt» + h — a m (o+bx-y+{m-hpn)f r»-> d r(rr-4- h r • >
pria ’
faisant p — 1 = p , on aurait
fx*‘- t dx(a±bx*'r— J m ('i | 4Aj |, ^~*- , 4[»n4 (p4i)nl rx m -'t\x(rt-4-bx*)r+<
(P-hTÿiïi -f 56 ';
formule dans laquelle, si l’on fait p négatif, l’intégrale proposée dépendra d une autre dans laquelle l’exposant de lu parenthèse sera plus piès de zéro d’une^unité.
3a8. On peut aussi diminuer l’exposant dex, hors de la parenthèse. Pour cet effet, on égalera cotre eux les seconds membres des équa-r lions (53) et (54), vu que les premiers sont égaux, ce qui donnera
( a 4 bx n y - P— f a’»+»-i( a -g, bx-y-'dx
= a/ar"-'dr(o 4 . 6 x’y—+ bfx’*+’'-'dx(a 4 bx")r-' t d’où l’on tirera
(a+i x *)^’<lx=(a+bx'y~ —afx"- *djr(a46x-)(,- , > et par conse'quent
$ r f.n+br-yx-—maf z — ■ dx{a-hbx'y ~ ■ b{m -f- pn) *
faisons = - i-ss; p ; celte équation deviendra
fx»-/Ax(a+bx-y= àx(a+bx’y
b[m 4 pn)
Au moyen de cette formule , l’intégrale dépendra d’une antre dans la-
FORMULES DE RÉDUCTION DES DIFFÉR. BINOMES.» 1Z7 quelle la partie x m ~' , hors de la parenthèse, deviendra *■-»-» ; cette seconde intégrale dépendra à son tour d’une troisième , dans laquelle la partie hors de la parenthèse, sera nt — an — 1 : en continuant ainsi , les exposans de x hors de la parenthèse seront successivement m — I , Tn — n — t, m — an — 1, m — 3 n — 1... m — rn — 1. (Par rn , on entend le plus grand multiple renferme' dans m.)
A la dernière de ces opc'rations , l’exposant de x hors de la parenthèse , "dans le second membre de l’équation de réduction , sera donc m — rn — 1 ; par conséquent x, dans le premier membre de cette éqnation, aura pour exposant m — (r — 1) n — I : ainsi , en faisant m = m — (r — I ) », dans la formnle (57), et en représentant par X la partie intégrée, cette* formule noue donnera
X — (m — rn) a f x m ~ r ’~'ix(a-\ -bx’)f 4 [m — (r — i)n-jrpn]
Si rn est égal è nt, le coefficient m — rn est xéro, ce qni fait évanouir, dans le second membre de l’équation précédente, la partie affectée du signe d’intégration , et il reste
/ 0*- , dj:(a-t-i>ar*)f = , —
Cette intégrale étant déterminée exactement , toutes les autres le sont h leur tour, par conséquent la formule proposée est alors intégrable.
3 ag. Nous avons supposé que m était positif dans la formule (57) qui diminue l’exposant hors delà parenthèse; ponr avoir celle qui convient au cas où m serait négatif, nous tirerons de la formule (57),
^ , . , -v. (a+bx*)r+'x"—-b(nH-np)fx'—'àx(a-bbx*)r .
/x— « 'd x(a+bx*)r ^T-^ja »
faisant m — n—m, on aura
r , , , , {a+bx')r+'x r "—b[m+n+np)fx m +— , àx(a+bx''}r
fx—'àx(a+bx-y='- L i i — .(5(j).
Au moyen de cette formule, quand l’exposant hors de la parenthèse est négatif, l’intégrale dépend d’une autre , dans laquelle la valeur de cet exposant est moindre de n unités; car l’exposant de x, hors de la parenthèse, dans le second membre de l’équation ( 5 g) , étant m -h n — t , si l’on remplacer» par sa valeur négative, que nous représenterons par n»', cet exposant deviendra — (m' — n) — I , tandis que celui de x , hors de la parenthèse, dans le premier membre, sera — ru' — 1 ; et eu ne cou-
a 38 CALCUL INTÉGRAL.
sidérant que les valeurs munériqoes de ces exposans , il est certain que
n \ — i surpassera — m! — T , de « unités.
33o. Pourdonner une application de ces formules , soit ^ • ar"dx
J’écris ainsi cette expression : x“dx(i — x 3 ) ’j et en la comparant ï celle-ci , x»»-‘dx(a -t-6x»)P, j’aurai
» m — ^—m, ou m = m -4- I , a — l, l = — I , n = 3, P — "*
L’exposant de la parenthèse ayant une valeur numérique moindre que l’unité, nou6 chercherons h diminuer l’exposant qui est hors de la parenthèse, et, en conséquence, nous substituerons les valeurs précédentes dans la formule (5?) , ce qui la changera en celle-ci :
/x"dx(
=— x"*- 1 — — - — f — -/x~-’dx(r— x>)”
' m ni
t P x"* — *dx ,
Si l’on fait successivement m—m — a, on a
1—3 r.r"-*dx i— v V i — x"> ’ 5 y/ 1 — x 3 m — 5 /"V" 3- 6 dx ri — 4 m —\J
