W=TO
^V"“ 6 flx j-Vl-r’ , m— 7 x .
‘Jv^~ m-=6~— h m-6j y/ïZT.’
ainsi de suite. ,
f*x m -’dx
La première de ces équations nous donnera la valeur de J rr . : ,
qu’on mettra dans l’équation (do), et Ton trouvera
/»x-dx ,/ — -rx'"-‘ W-I3»->1 ?»- 1 m 3 A r-~<Ar ;
/ y/”-; ’V»-- 1 | nt m— aj + m m—ij y/,—*»’
on suhititucra ensuite successivement, dans ce résultat, les valeurs de
/\i~-<dx , P x m “ 6 dx
/ — et de / etc. ;
FORMULES DE RÉDUCTION DES DIFFÉR. BINOMES. 23g
si m est ud iiumbn- entier pair , la dernière intégrale que l’on obtiendra écra
dr
: = arc (sin = x);
si m est nn nombre entier impair, cette dernière intégrale sera
et comme alors xdx est la différentielle de x*, S un facteur constantprès, nous ferons i — X* =z, ce^qui nous donnera
VMzW =-v/x-=-t/r=7r J {/i-x* J 3 v* J 3
La dernière intégrale étant trouvée, il en résulte que lorsque m sera un nombre entier, la formule pourra toujours s’intégrer.
33 1 . Prenons encore pour exemple — " : en écrivant ainsi
cette expression
x~ m (i — x*)~*dx,
on la comparera à la formule (5q) pour diminuer l’exposant hors de Ia parenthèse , et l’on aura t
au moyen de ces valeurs , la formule (5g) deviendra
/*--dx(.-**f l =-
ou plutôt
f* àx V~— *' . m ~ 3 r àx
m — ij — *»*
Si m est un nombre pair, par exemple 8, l’intcgrale de •
dj-
dépendra de celle de •
sy/t — s
r j celle-ci, en vertu de la même formule ,
dx
dépendra à son tour de celle de — — > jusqu’à m — a ; dans ce
a^O CALCUL INTEGRAL,
dernier cas, la formule (6x) donnera
dx [/ 1 — i*
de sorte que , par des substitutions successives , on obtient l'intégrale lorsque m est pair.
Dans le cas où m est impair , par exemple 7 , en mettant successivement dans la formule (61) à la place de m, les valeurs 7,5*3, on na
TJl — — 2
pourra s’arrêter à m ±= 1 ; car , dans cette hypothèse , le coefficient
de la seconde intégrale deviendrait — - = — # oo ; ainsi , la plus petite valeur que l’on pourra donner 11 x, sera x = 3 . Dans cette hypothèse , la formule (61) deviendra 1
r dx y/i — x» + 1 p dx
2a * Vx^?’
Pour inte'grer l’expression — 7=-= » nous ferons x = - , ce qui nous xy 1— ** *
donnera
, dz ./ l/s’ — 1
dx=— — , et |/« — x*= ,
et par conséquent
dx
dz
x^/, — x* V'î 1 — 1 nous avons trouve, art. a 33 , page iq 3 ,
t==. = log (x -f- Oi
donc, crf changeant x en z , nous aurons
Si
— == = — (log *4- — Oi
remettant pour s sa valeur - , on aura
/ïp-'fe'-'+lVi-.V C=-,o t (i±i5S) + C.
dr
Ainsi la formule peut s’intégrer, soit qu’on prenne m pair
ou impair.
INTÉGRATION DES FONCTIONS DE SIN. BT DE COS. agfi
De V intégration des quantités qui renferment des sinus et des cosinus.
33a. L’intégration des quantités qui renferment des sinus et des cosinus dépendant de la possibilité de développer cos’x, cos 3 a;, cos^x, ett. , en fonction des expressions cosx, cosax, cos3x, etc., nous allons démontrer préliminairement comment on peut yparveniç parla seule Trigonométrie ( note troisième).
Si dans la formule *
cos (a + à) = cos a cos ô — sin a sin 6. . . (Sa) , on fait a = 6, on aura
cos aa = cos* a — sin *a = cos *a — (î — cos’ a)
• s= a cos* a — î ;
on tire de là
cos* a = £-}-* cos aa; . ,
multipliant cette équation par cos a , elle devient
cos 5 a = icosa + 3 cos a. cos aa. ..(63)» 1
Or, si à l’équation' (Sa) on ajoute celle-ci : f
cos (b — a) = cos a cos b -f- sin a sin b , on obtiendra . /
* cos a cos b s= A cos ( a+b) + ï cos (b — a);
faisant b = aa , on aura
cos a cos a a = j cos 3a -f - } cos a ;
éliminant cos a cos sa , entre cette équation et l’équation (63), on trouvera
cos 3 crt=^ cosa + i cos3a. J ’ . ■ ■
On calculerait par le même procédé les puissances supérieures de cos a.
.i<\> . \« CALCUL INTÉGRAI.
333. Cela posé, lorsqu’on aura à intégrer l’expression cos m xar , dans laquelle m est un nombre entier, on mettra pour cos”x , son développement qui , d’après ce qui précède , ne contiendra que des termes pris dans cette suite :
' constante, cosx, cosax , cos Sx, cos , etc. ,
de sorte que tout se réduit à savoir intégrer un terme de la forme cos mxdx.
Pour cet effet , nous remarquerons que si dans l’équation d sin s = cos z. ds , on fait , on aura
donc
d sinmx = cos mx.mdx;
sin mx
' f cos mxdx:
s même que f sin mxdx =
Ç)n trouverait de même que
cos mx
Prenons pour exemple cos*x.dx : mettant pour cos’x sa valeur i -J- 4 cos ax, nous aurons
f cos 3 xdx = /(î -f- 1 cos ax)dx = - -f- \ qin ax <4" C.
334- Si l’on voulait intégrer sin m xdx, on procéderait d’une manière analogue ; ou bien, en représentant par z l’arc complément de çe , on aurait - ,
x — %x — z et dx=— dz, sinx = cosz;
on changerait donc la formule sin^x.dx , en celle-ci : - — cos m zdz , et l’on intégrerait comme ci-dessus.
