Enfin si l’on a à intégrer
dx
cos m xsin*x
cette expression par cos*x -f- sm*x, quantité qui équivaut à l’unité , et l'on aura
dx
dx
cos' n x sm
“x Cos m— *x s in B X cos**x sin" - “x ’
par là on diminuera la somme des exposans du dénominateur ; et , en répétant un certain nombre de fois cette opération , et en mettant successivement à part toutes les fractions qui , dans leurs dénominateurs , ne renferment qu’une puissance d’un sinus ou d’un cosinus (parce qu’on sait intégrer ces fractions d’après ce qui précède) , à la dernière opération , on tombera sur des termes qui pourront encore contenir des puissances de sinus et de cosinus , ou qui seront des
WTÉGRAT10N DES FONCTIONS DE SIN. ET DE COS. a4& formes suivantes :
dx
sin x cos x • dx
dr sin x
cos x
, on multipliera le. numérateur par
Pour intégrer —
° sin x cgs x
cos’x-f- sin*x, et l’on aura
dx , cosx , . sînx dsin x
=dx- hdx = —
smxoosx smx cosx sinx
d cosx
cosx
expression dont l’intégrale est
logsinx — logcos x + log C=logCtangx.
Pour intégrer , on fera cosx = z, et l’on aura smx
dx :
dz
sinx
et
dx
smx
sin a x
dz
formule intégrable par la méthode des fractions rationnelles.’,
JJ
A l’égard de ~ Q ~ 3 ~> on supposera sinx=z, et l’on trouvera
338. En général, on peut toujours transformer les expressions qui contiennent des sinus et des cosinus en d’autres qui n’en renferment pas : pour cela , il suffit d’égaler sin x ou cosx à une nouvelle variable z. Par exemple,. si dans l'expression sin m xcos"xdx, on suppose sinx-=z, on aura
j — ■ — dz
cos x= y 1 — z* et dx=c— —====.;
substituant;, on trouvera
sin m x cos"xdx == z w (i — z 1 )* (t — z 4 ) * dz
t "jzl
==z*>( t — **)>» dz,
expression qui se rapporte aux différentielles binômes*
a4S CALCUL intégral;
s On peut aussi appliquer immédiatement l'intégration par parties à l’expression (*) sin m x cos M xdx.
33g. Enfin , les formules trigonométriques peuvent être aussi employées avec avantage dans de certains cas. Pour intégrer, par exemple, sinmx cos nxctx; comme la Trigonométrie nous donne
sin a cos b = ; sin (a -f- b) -f- £ sin (a — 5) ;
en comparant l’expression sinmx cosnx à cette formule, on trouvera
sin mx cos nxdx = ïsin[|(m+rt)x3dx-f-;sin[|(m— njx^dx-,
et l’intégrale sera , art. 333 f
, cos[(m+n)x3 , eosfCm — n)x}
De r intégration des quantités exponentielles et logarithmiques.
3^0. Il a été démontré , art. 37 , qu’en prenant les logarithmes dans lesystème Népérien, on avait da*=a*dxloga; donc, réciproquement.
Ceci peut * nous servir pour intégrer l’expression général# c*Xdx, dans laquelle X est une fonction de x. Pour cet
{*) Pour la comparer h udv, on la décomposera ainsi : sin»-»! . cos"! sin xdx = — sin"» - »! . d — 7 — cos*+*jr.
