I-NTÉCR. DES QUANT. EXPOSENT. ET LOG
effet, nous écrirons ainsi cette expression : X . cr'dr ; et en intégrant par parties , nous aurons
Cela posé, en différenciant successivement lâ fonction X, nous eri tirerons dX = X'dx , dX' = X"dx , eto. ; donc
J logn J log a (loga) 2 J (log
substituant cette valeur à la place du dernier terme de l’équation (64) , nous obtiendrons
/Xa*dx :
log a (log a) 1 J (log a) 2
En continuant. d’opérer de la sorte, nous parviendrons à co développement *• t
, 1 /X X' , X* X* xw y *■ ■' \loga (loga ) 2 (îogâÿ (îogap" (Soga)"^/
a*dX<»
(loga)"^’ / ,
Si, en prenant la suite des coefiiciens différentiels X', X", X*...X( B ), le dernier de ces coefiiciens est constant, on aura dX^*) s= o , et alors la partie intégrale s’évanouira.
34i. Prenons pour exemple X = x 3 , d’où l’on déduit X' = 3x*, X" = a.3x, XT ou- XW=3.a; donc
fx 3 <r r dx== a*[ ; rr -f- 75 r
*•* V Inrr/s (lArr/ii* * l Anrnt
\logtt (logo) 2 ~ (loge) 3 (loge)
a^8 CALCUL intégral;
Si l'on fait a égal au nombre e, qui est la base du système Népérien, loga devient log e; or, loge = i, en vertu de l’équation e = e lol ’ ,m , par conséquent
fx^^dx = e^x 3 — 3a?* ~h 2 .3x — 2.3).
342 . On peut encore parrenit à un autre développement de /a* . Xdx. Pour cela faisons fXdx == ? , /Pdx =Q, fQdx = R , etc. , et intégrons par parties , nous aurons
fq. x . Xdx = a*P — • fa x logo . Pdx. . . (65) , fa x log a . Pdx = a x log c.Q — fa x (log a)*Qdx ;
et en substituant, l’équation (65) deviendra
/o* . Xdx = o*P — q* log a. Q + fa x (logo)*Qdx.
En continuant d’intégrer par parties, on aura en général
/a x Xdx=o* £P — Q log a -f- R (loga)* — etc.].. . .
* ± fZa x (log a)"dx.
643 • Si l’on applique cette formule au cas ou X = on trouvera
donc
loga loga 9 “| loga 3 /’a x dx 3.4x 3 2.3.4 x*J 2.3.4J x *
L'intégrale de - est une fonction transcendante qu’on
n’a pu déterminer jusqu’à ce jour.
344* En général , on voit que quelque puissance négative et entière que l’on prenne pour exposant de x, on doi$
ÏNTÉGR. DES QUANT. ExPONENT. ET LOG. 249
toujours tomber sur cette transcendante / — — — ; car dans
Jes fonctions successives P, Q , R , etc. , les exposans de a? diminuant toujours d’une unité , la dernière de ces fonctions A
doit être de la forme et par conséquent Ja dernière intégrale sera
dx:
parce que A est constant.
Pour avoir une valeur approchée de l’intégrale de.. 3
, on n’a d’autres moyens que de substituer dans
cette expression le développement de a* qui est, comme on l’a vu ,
1 x log a -t- ^(log a) 4 + (loge) 3 ■+■ etc. ,
et d’intégrer ensuite chaque terme.
345. Si dans l’équation ^=<dlogn, ou plutôt.... J du = u d log u, on fait u = x y , on aura
dx y = x>'dlogxt';
ainsi , toutes les fois qu’on pourra décomposer une différentielle en deux valeurs dont l’une soit représentée par x y , et l’autre par d log x r , l’intégrale sera x y H- C.
346. L’intégration par parties peut aussi s’appliquer à celle de l’expression Xdx (log x)" ; car si l’on représente par X, l’intégrale de Xdx, on aura
/Xdx (log x)” = X, (log x)* — n J' d» (log x)* I .
On fera dépendre à son tour cette dernière intégrale d’une autre , de la forme /X u dx(log r)* -4 , et ainsi de suite.
CALCUL INTÉGRAL. r •
De la série de Jean Bernouillii
347. Nous avons vu que beaucoup d’expressions différentielles n’étaient intégrables qu’ après avoir été réduites en série, et que, pour cet effet, en désignant par Xdr une différentielle dans laquelle X est une fonction quelconque de x, il fallait préliminairement réduire en série la fonction qui est représentée par X , et intégrer ensuite après avoir substitué ce développement dans la formule Xdr.
La série de Bernouilli a l’avantage de réduire /Xdr en série, avant même que l’on ait donné la forme de X; cette série est dans le Calcul intégral ce que celle de Taylor est dans le Calcul différentiel. Voici de quelle manière on ladémontre. Cherchant d’abord à intégrer Xdr par parties, on comparera /Xdr au premier terme de la formule
fuàv ~uv — / /du ,
et l’on aura
X=u, dx — dv;
par conséquent l'intégration par parties s’effectuera en écrivant
/Xdr = Xr — fxàX ... ( 66 ) ;
l’intégrale se prenant par rapport à la variable x , nous avons
dX^.<£;
dr
par conséquent
Intégrant encore par parties, u sera représenté, dans ce cas, par et dv par rdr, de sorte que nous aurons r*
v = —, et nous trouverons
