DÉ LA SÉRIE DE JEAN BERNOUILLI
”dX , dx X*
/ dX , dX x® f. r*
cPX dx 1
ou , en mettant la fraction ~ hors du signe d’intégration, d a X d 2 X
remplaçant par -j— , dx et* opérant de même, nous ob-
tiendrons
r , d’X rà*x ,, , ,d*x ,/® ,d s x
et ainsi de suite.
Substituant la valeur du premier membre de l’équation (€7) dans l’équation (66), et portant ensuite, dans le résultat, celle du premier membre de l’équation (68) , nous obtiendrons
irY , Y dX x* d“X x 5
l/Xdr = Xx h -r— . = — etc. + consf.
dx î.a dx® i.a.3
De la quadrature des courbes.
348. Soit s (fig. 5i) Faire ABMP d’une courbe plane ; Fig. 5isi l’abscisse AP = x devient AP' = x -f- A, l’aire j deviendra
on aura donc
aire mixtiligne PMM'P' = ^ h -f- ~ ~ -j- etc. ;
cette aire est comprise entre les deux rectangles PM' et P'M, dont il est facile d’avoir les expressions analytiques :
le rectangle PM' = P'M'x PP' ~f (r -f • h). h, le rectangle P'M = PM X PP 7 —f x.fr,
Û03 CALCl’L intégral;
le rapport de ces rectangles est
^x.A jCr ’
dans le cas de la limite , çe rapport se réduit à.
Gr , la surface mixtiligne PMM'P 7 étant comprise entrp'les deux rectangles, diffère moins du rectangle FM que le rectangle PM' ; donc , si dans le cas de la limite on a PM'
pTj^l = 1 , à plus forte raison l’unité sera la limite du 4 rapport
qiVe PMM 'P' rectangle P'M*
En remplaçant les termes.de ces rapports par leurs expressions analytiques , on aura
dr , , d*s A* dr . d*r h ,
JZ h + -^~ + etc - S + *d^ l + etC -
dx 1 d x» a
• fa-h
on passera à la limite en faisant h = o , et l’on trouvera dr
= i , d’où ds ~fx. dx; et en mettant pour^x sa valeur , on aura
dr =zyàz. . .(6 g).
349- On peut aussi déterminer la différentielle de Paire d’une courbe , par la méthode des infiniment petits , de fa. t ig. 5g. manière suivante (fig. 5j) :
trapiv PMM'P' = Z^ M :xPP '=^±) x
DE LA QUADRATURE DES COURBES. a 53
rejetant dxdy comme infiniment petit du second ordre , il reste ydx pour la différentielle.
35 o. Pour première application, cherchons (fig. 52 ) l’aire pjg. 5 X d’une portion BMP de parabole. Soit^* = mx l’équation de cette parabole , dont l’origine est B ; on trouve , en dif-
férenciant , aydy = mdx ; donc dx =
2d y, et par consé-
quent ^dx = dy
intégrant, on a
Pour déterminer la constante, j’observe que lorsque ^ = 0,' l’intégrale, qui exprime la surface cherchée, est nulle en même temps. Cette hypothèse réduit l’équation (70) à
o = o + C; donc
= = v® — - ^ X mx — -
: s xy.
35 1. Nous avons maintenant des observations importantes à faire Sur la détermination de la constante : pour cela, résolvons le même problème en prenant la parabole dont l’équation est
y=m + nx...( 7 i).
L’origine des abscisses ici n’est plus au sommet de la courbe ; car, en faisant^ = o , l’équation (71) donne x =— et comme cette abscisse doit se terminer au point B (Gg. 53 ) Fig. 53. où y = o , on portera ^ de B en A, et le point A sera l’origine. Cela posé, en opérant comme précédemment, on trouvera s
sydy=ndx; donc yàx—^-ày et Jydx~^-^- + C...(j2).
s54 CALCUL INTÉGRAL.
Pour déterminer la constapte , j’observe que la surface ADMP (fig. 53) , qui représente ici l'intégrale , doit être nulle lorsque l’ordonnée MP coïncide avec AD; or, AD étant l’ordonnée qui passe par l’origine A où l’abscisse x = o, l’équation (71) nous donnera , dans cette hypothèse,
y ou DA = t/m; faisant donc fyàx=o et y~ S/nx,
2 TM*
ces valeurs réduiront l’équation (72) à o = s f-C; d’où
on
l’on déduit C = — 5 — -, et par conséquent l’intégrale cher-
O Tl
chée est •
fyàx = = * = = aire ADMP.
35a. Dans ce qui précède, nous avons tiré de l’équation de la courbe la valeur de dr, pour la substituer dans la formule jdr, et intégrer 'ensuite. Nous aurions pu opérer autrement, eu mettant dans cette expression la valeur de y plutôt que celle de dr; car, pour obtenir l’intégrale , il suffit que la différentielle proposée ne contienne qu’une variable ; ainsi on choisira la substitution qui exigera le moins de calculs. - ... .. ,
