Une intégrale telle que ffx dr, peut toujours re

présenter l’aire d’une courbe dont l’équation serait y ==/r : en effet, cette équation étant donnée , si l’on substitue ra valeur de y dans la formule fydx , on aura ffx . dr pour la surface de cette courbe. C’est pourquoi lorsqu’un problème nous a conduit à intégrer une fonctioh d’une seule variable , on dit que ce problème est ramené aux quadratures. ;

354. Soit X une fonction de x, et supposons qu’en intégrant Xdr ou ait obtenu

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DE LA QUADRATURE DES COURBES. a55

/Xdx = Fx +C. ..(73),

celte intégrale , dans laquelle la constante C n’est pas encore déterminée, porte le nom d’intégrale indéfinie générale , ou plus simplement d'intégrale indéfinie , et elle est complète lorsqu’elle renferme la constante arbitraire C.

355 . Si, par une hypothèse, on détermine cette constante C, si l’on suppose, par exemple , que fiXdx doive s’évanouir lorsque x~a, l’équation (j 3 ) donne, dans ce cas, o = Fa-f-C; donc C = — Fa, et l’équation (73) devient V

' /Xdx=Fx — Fa;

cette intégrale Fx— -Fa est alors une intégrale particulière , et l’on voit que le nombre des intégrales particulières d’une expression différentielle est illimité, puisqu’on peut établir une infinité d’hypothèses différentes sur la constante.

35 G. Lorsqu’on fait l’hypothèse de l’intégrale nulle et dex=a, c’est admettre qu’en prenant (fig. 54 ) une ab- Fig. 54. * sçisse AB — a, la surface soit comprise entre la limite BD et la limite indéfinie MP qui correspond à AP = x; donc l’opération par laquelle nous déterminons qne intégrale * particulière, est la même que celle qui fixerait la position de la limite BD , depuis laquelle on compte l’intégrale. La seconde limite PM sera fixée à son tour invariablement , si nous donnons à x une valeur déterminée b ; alors l’intégrale particulière fydx — Fx — Fa, deviendra

fy dx — Fb — . Fa. . . (74),

et la surface BDMP ne sera plus arbitraire. Dans ce cas , l’intégrale porte le nom d’intégrale définie, et l’on dit qu’elle est prise depuis x —a jusqu’à x — b. . '