Cherchons maintenant l’intégrale défini de x™dx
HP us sommes donc censés connaître deux valeurs a et b ,
a5S CALCUL IMTÉGRAL.
qui satisfont à l’intégrale indéfinie ,
Supposons que la première correspotade â fydx = q ; on aura
UC = o:
et l’inlégrale particulière sera
aJrt+t a m-M
/x”dx =
Nous ferons ensuite x=b, et nous aurons pour l’intégrale définie
fx m dx =
ri” 1+1
358. On parvient aussi à cette intégrale en faisant successivement x—a et xx=b dans l’intégrale indéfinie, et l’on a
+ C, et — -+C;
on retrancbera ensuite le premier résultat du second ; mais , en prenant cette différence , il faut toujours avoir soin que la partie soustrajte soit la valeur de la fonction de x à l’origine de l’intégrale.
35g. Pour troisième application , déterminons l’aire d’un Pig. 55 . triangle rectangle ABC (fig. 55) : l’équation de la droite AC étant y = ar, en mettant cette valeur de y dans la formule jdx , on obtient oardx; donc
Cix a
fyàx = fax dx = — — f- C ;
la surface étant nulle quand x = o, la constante est égale
DE LA QUADRATURE DES COURBES. a 5 7
à zéro, donc
. . ax * x xy
aire ABC = = - Xax = — .
36 o. Si dans la formule ^dx on met la valeur de^, tirée de l’équation du cercle, on trouvera fdx\/a 3 *—x % pour l'expression de l’aire du cercle. Nous avons vu, art. a8a, que cette intégrale avait pour valeur
î ÿ a. 3 — x* + i a' arc ^sin — ^ + C.
La partie 5 a’ arc ^sin=^ ne pouvant se déterminer qu’en supposant connu le rapport du diamètre à la circonférence (*) , on voit que l’intégration de àx \/ U* — x* ne peut conduire à la solution du problème de la quadrature du cercle. Il en est de même de la quadrature de l’ellip se qui dépend de
- fdx l/ a” — x*.
Si l’on compare ces deux expressions , on en tirera la proportion
aireellipse : airecercle :t - /dxy/a m — x* : fdx\/ a 3 — x“.
ou
d’où l’on tire
aire ellipse : aire cercle - : 1 ,
aire ellipse = - X aire cercle — - *-a“ = xab. a a
(*) Si, par exemple, ar=-a, j’ai - = et j’opère comme dans l'art, a 78, pour déterminer l’arc correapondant.
De la rectification des courbes.
36 1 . Rectifier une courbe, c’est obtenir une droite égale à un arc de courbe. Nous avons trouvé, art. i5j), que la dilFérentieye d’uR arc de courbe avait pour expression
ds =* l/ dx* -f- dy .... ( 76 ) •,
une équation entre deux variables x et^ étant donnée, si l’on veut rectifier la courbe à laquelle elle appartient , on différenciera cette équation , et on en tirera la valeur de dx ou de dy , qu’on substituera dans l’expression ( 76 ) ; alors le radical ne contiendra plus qu’une variable, et si l'on peut obtenir l’intégrale , la courbe sera rectifiable.
36a. Prenons, pour exemple, la courbe (*) dont l’équation est y —nx x , trouvée art. 1 65 ; cette équation étant
différenciée, nous donnera
3y'dy = anxdx ,
d’où nous tirerons
substituant, on a
v/dx» + dy = y/QE^)dy = dy yAi' + 1 ;
d y étant la différentielle de l’expression qui est sous le ra-
(*) Elle porte le nom de seconde parabole cubique. Celte équation, ainsi que celle de la parabole ordinaire, ne sont que des cas particuliers de l'équation générale =ax* ; c’est pourquoi cette équation est appelée l'équation de la parabole de tous les ordres.
On a aussi regardé l’équation ry—a de l’hyperbole entre ses asymptotes, comme un cas particulier de l’équation a m + m , qui est ap-
pelée pour cette raison , l'équation de l'hyperbole de tous les ordres.
DE LA RECTIFICATION DES COURBES. ' a 5 g
dical, à une constante près, nous ferons, article 271 , 7 + d’ou l’on tire dy = — dz ; substituant , nous
t\Tl Û '
aurons
donc
l/dx’-f- dy* = ~ z*dz;
rv d^+d7-=|Ç=|d+c.
ou , en remettant la valeur de z,
Pour déterminer la constante , on voit , d’après la nature de l’équation de la courbe , qu’à l’origine des abscisses y est o ; ainsi , en supposant que l’intégrale soit nulle en ce point.
on a
o=— -f C; donc C ==•— — 27 27’
et par conséquent
’ Si x = a, l’arc s , compris entre les limites x = o et x=o, sera *
3 G 3 . LYquation de la cydoïde, art. 200, donne dt» = ■• 7 *^ 7 * .
bay-y* *
substituant cette valeur dans la formule (76) , nous trouveront J
dr = Wà r + J^rL =djr WZErZ = x/ZKL
V J 2 qy— y* J V aay— y* J V aa — y
Comme dy exprime la différentielle de l’expression qoi est sons la parenthèse, multipliée par — r, nous ferons, art. 371, Jaa — y — z, et nous aurons #
Cette équation étant intégrée , donne
f \ la— y ~ — 3 ( 3 ®)* *" -1- C = •— 3 l/aaa -f- C j ou , en restituant la râleur de y,
fty \/î^y = ~ ^ 9a ^" — y) + c. .. (77).
Pour déterminer la constante, nous prendrons l'intégrale de manière qu’elle s’évanouisse quand y — la ; dans cette hypothèse , l'équation (77) se réduira lo = o + C, ce qui montre qu’il n’y a point de constante A Fig. 57. ajouter; alors l’arc de cycloïde s’étendra depuis le point B (fig. 57) , où y = an, jusqu’au point M, dont les coordonnées sont x et y. La valeur absolue de l’arc MB étant a\/aa(aa — y), nous remarquerons que BE = aa — y; donc a\/aa (aa — y} = al^BD x BE — aBG; d’où il suit que l’arc de cycloïde MB est égal* au double de la corde GB; par conséquent, arc AB = aBD.
De la détermination de Faire des solides de
révolution,
Fig 5i. 364 - Sî une couAe BC (Kg. 5 i) , tracée sur un plan', fait
une révolution autour de l’axe A JC , elle engendrera un solide de révolution. Cherchons la différentielle de l’aire engendrée par cette courbe. Pour cet effet, soient AP = x , PM —y, PP" = h, et par conséquent
PM —fx =y,
P'M' =/(x-+- h) =y + ^ h 4- ^ h ~ + etc.
Dans ce mouvement de rotation , les ordonnées MP et M'P'
DE L’AIRE DES SOUDES DE' ft ÉVOLUTION. sS( décrivant des cercles inégaux , oes cercles seront les bases d’un cônç tronqué , dont la corde MM' sera le côté. L’aire de ce cône tronqué aura pour expression
cire. PM + cire. FM'
X corde MM'.
En représentant par 1 : % le rapport du diamètre à la circonférence , l’expression précédente deviendra
av PM-fa^P'M; x corrfeMM ' jr( p M+I y M ') X corde M m' ;
et en mettant , pour les ordonnées PM et P'M', leurs valeurs analytiques , on aura-
aire-cône tronqué etc.^cordeMM',
d’où l’on tirera , en divisant.
aire cône tronqué MM' oorde MM'
Si nous représentons maint enant par u l’aire engendrée par le mouvement de rotation de l’arc MM', et par s cet arc de courbe ; comme en diminuant h , cet arc tend à se confondre avec sa corde , le premier membre de l’équation précédente
devra être remplacé, dans Ife cas de la limite, par gj j et la second se réduisant alors à a*y, nous obtiendrons du
et par conséquent du = avyds ; et en mettant pour dî sa valeur trouvée art. 159, on aura enfin
du = a *y \/ dx*4-dy*. — (78V
2Ç3 ‘cfALCüL intégral;
365. Par les infiniment petits on aurait considéré l’élément de la surface de révolution, comme celtad’un cône tronqué , engendré par îa rotation du trapèze élémentaire
Fig. 5g. MPP'M' (fig. 5g) autour de PP' ; ce cône tronqué aurait ✓ pour expression
cir. )x MM , =r(2y-f-dy)ds=a«^'ds+7rdjds;
supprimant le terme a-djdî, comme infiniment petit du second ordre , il resterait * ______
Siryds = 2sry y/ dor* -)- d y* élément d'une surface de révolution.
366. Pour première application , prenons l’aire du paraboloïde de révolution , qui est le solide engendré par la
ig. 6o. révolution d’un arc AM de parabole (fig. 6o) autour de son axe : l’équation de la parabole^’ —px donne
Cette valeur étantsnbstituée dans la formule tory \/ dar'+dy’} la réduit à
V = j y*y Vw+p*-
ydy étant la différentielle de la quantité qui est sous le radical , à une constante près, je fais», art. 371 , + =.z ,
et en différenciant je trouve yày = -g ; substituant et intégrant, j’obtiens
fjy*yv'<y.+p'=fç‘ i i*=î±+c
Je détermine la constante en supposant que l’intégrale soit
de l'Aire des solid» de révolvtion. a 63 -
nulle lorsque y = o , ce qui réduit l’équation précédente à.
