TD

o = g p J + C , ce qui donne C = g- ;

et en supposant que l'intégrale soit prise depuis ^ = o jusqu’à yr= b , l’intégrale délinie sera

367. Pour seconde application , évaluons l’aire de la sphère. Cette surface courbe étant engendrée par la révolution de la demi-circonférence autour du diamètre , soit x’ + j £ = a* réquation du cercle ; en différenciant nous trouverons xdx = o ; donc

« xdx , x a dx*

dj = — — - et d

substituant cette valeur dans la formule (78) , nous obtiendrons

/a^y \J 4 - i)dx* — fi-xdxŸ ^ -\-f

— / Jjrüdx = 2 ttax + C . . . (79).

Pour déterminer la constante , nous prendrons l’intégrale à partir du point A (Ggi 61); et puisque l’origine des abscisses Fig. 6r. est au centre, nous supposerons l’intégrale nulle lorsque

x = — a ; cette hypothèse réduira l’équation (79) à

o = — 25 ra a -f- C ; donc C = 2xa a ; substituant cette valeur dans l’équation (79), nous aurons fixaàx = 2x(ax -{- a a ).

Prenons maintenant l’intégrale définie entre les limite ;

s 64 calcul hstégral:

x = — a et x = a- > il faudra changer x en a dans la formule précédente, et nous obtiendrons , pour la surface delà sphère,

/ 2iradx = 2»-(2 a 1 ) =

568 . On peut aussi «trouver l’aire du cylindre droit ; car cette surface étant engendrée par la révolution du rectangle Fig. 6a. AD (fig. 62), autour de l’axe AB, soient AB=a, CA — b ; l’équation de la droite CD sera y — b -, donc dy = o. En substituant ces valeurs dans la formule (78) , on la réduit à airbdx ; et en intégrant on a

fuxbdx = a xbx + C.

Si l’on prend l’intégrale définie entre les limites o et x = a, on trouve pour l’aire du cylindre

2irèa = 2 nb X a — circonférence de la base X hauteur.

A l’égard de l’aire du cône , ce solide étant engendré par Fig 55. 1 » rotatioh du triangle rectangle ABC (fig. 55 ) , autour de l’axe AB , soient AB = a , CB = b ; l’équation de AC sera

y = - x ; cette équation donne , par la différenciation ,

dy = - dr et dy’ = — dr’.

Les valeurs dey' et de dy* étant substituées dans la for- , mule (78) , on a ,

/ ixy \/ dx î -J-dy“=/2!r^-dx [/ a*-\-b <L =J^ a a + ô 3 -f- C ;

et en prenant l’intégrale définie entre les limites x — o et x = a , on obtient

aire du cône = -rb y a* - 4 - b* = 2 rb X —