DIFFÉRENTIATION ^DES FONCTIONS CIRCULAIRES

Des différentielles des sinus-, cosinus et autres lignes trigonométriques , ou des différentielles des fonctions circulaires.

Y •• ••.il v

3 g. Lare est glus grand que le sinus , et glus getit que la tangerîte.

.Pour le démontrer, soit AD , fig. 2 , un arc qui a B E FIG pour sinus et D A pour tangente , et prenons l’arc A.Df égal à l’arc A B. En considérant la corde £ B' comme une ligne droite , B B! est plus courte que Tare n A B'. Donc la droite BE , qui est la moitié de la corde B B' , est plus courte que Tare B A, moitié de l’arc BAB‘-, d’où il résulte que le sinus est moindre que Tare.

Pour démontrer que la tangente est plus grande que l’arc, nous avons

Aire du triangle D D'C^> aire du secteur B A II' C; ou en mettant les expressions géométriques de ces aires, DD'X, i AC> arc BAL X 7 AC; supprimant ^ AC de part et d’autre, il reste • ’ DD[^> arc DAB 1 ,

et en prenant la moitié , on a

V DA arc B A.

40. Il résulte, de ce qui précède , que la limite du rapport du sinus à l’arc est l’unité } car lorsque l’arc h représenté par AB devient nul , le sinus se confondant avec la tangente , à plus forte raison le sinus se confond avec l’arc qui est compris entre la tangente et le sinus,

par conséquent on a dans le cas [de la limite y , o u

, . sinA ‘ . ■ ' -,

plutôt — ■ £ — — i.

4 ■ • Pour trouver la différentielle du sinus dont l’are est x, supposons donc que cet arc reçoive un accroissement h , nous savons jfer la trigonométrie que

sin (x -f- h) = sin x cos h -(- sin h cos x . . . (23).‘

Retranchant de celte fonction son état primitif et divisant par l’accroissement h de la variable , nous aurons

sin ( * -+■ h ) — sin x sin a cos h sin A cos r — sinx

Rassemblant entre des parenthèses les termes multipliés par sin x dans le deuxième membre, on trouvera

sin ( x - 4 - h ) — &in x

sin x (cos h — * i) smhcosx . ,,

Quand h devient o , ços h — i devient aussi nul et

FüSIt — ’j se re ’duit à - ; il convient donc de mettre ce h o

terme sous une autre forme : pour cela l’équation cos* h- fsin*/ir= i me donne ’cos* h — i = — si n*h , qu cos h — i ) ( cos h i ) = — sin*A ; d’où je tire cos (h — i ) =;

— ! substituant cette valeur dans l’équation (*4) ,

cette équation devient

sin ( x -+- A ) — sin x . sin fi sin fi . æl sin A

-r tr == — Sin X TT ; r-fwsi-r-

fi ■ ' J- COS (fi -+- I) fi 1 fi

sinfi

JT :

ri et

l'équation ( 25 ) se réduit donc à — — cosx jd’ou

l’on déduit d. siu. x = cos x dx.

42. Dans celle démonstration le rayon des tables a été pris pour unité; mais si l’on voulait la différentielle d’un

différentiation des fonctions circulaires.

sinus dont le rayon serait a , au lieu d'employer l’éqüation (23) , on se servirait de celle-ci *

*- sin x cos h -+- si* h cos X

sm(x 4- h ) -) i .

Dans le résultat précédent il faudrait donc restituer la constante a , cè qui donnerait d. sin x = — ^ cos pour la différentielle du sinus d’un arc dont le rayon esta. •

43. On pcnt parvenir à la différentielle de sin x par des considérations géométriques; car, soit Ali , fig. 3, Tare a:., BM , l'arc h, 3. la perpendicnlaire BP sera donc sin x , et la perpendiculaire MQ sera sin (x -t- /«); cela posé, plus l’arc B JM — A diminue , plus l'angle MBC tend A devenir droit; par conséquent, dans Je cas de la limite, on . pent considère* l'angle MBC comme droit; alors la triangle MBD devient semblable an triangle BCP , puisque dans cette circonstance ces triangles ont leurs cotés perpendiculaires; d’où il suit qu’ou a la proportion '