Pour troisième exemple, prenons J" = ( a -f- x) m ‘ t
nous trouverons en différenciant
DIFFÉRENTIATION DES Qt4.NTITÉS TRANSCENDANTES. >9
dV
ïï*
£pr= »» (fm — i H m — 2 J ( à + x )
'faisant x = o, la valeur de j' se réduit à a m , donc (y )
= a m , et celles nous donnent
= a m , et celles des coefficiens différentiels , etc.,
(Ii di”
(g) = fm*»- , (g) = fm (fm-i) a— , (g) =* m (m — 1) (im— 2) û m ~ 3 .
Substituant ces valeurs de ( y), de^gj,de ,etc. , dans l’équation (18) , on trouve
(a+^)' n — /î ’ n + m fl m— 1 x -f- fm ^ ^ 1 ^ « m— a x“
-j- m- — j — - a m ~ 3 x 3 + e tc.
De la différentiation des quantités transcen dan tes.
35 . On appelle quantités transcendantes celles qui sont affectées d]exposans variables de logarithmes,de siaus , de cosinus , etc.
30 . Proposons-nous de différencier d’abord a*. Soit donc y = a x , changeons x eu x -f- ^ etj' en y, celte équation deviendra y — a x **" h ou plutôt y = n T aS.
11 faut doue développer celte expression paf rapport aux- puissances de h; en - , pour que a h puisse se développer par la formule du "binôme, je ferai a = 1 -j- b et par conséquent m* deviendra
C h 2 ) 77 s + elCl
On ordonnera par rapporta A ; mais sans effectuer cette opération , comme nous n’avons besoin que des termes multipliés par la première puissance de A , nous remarquerons que si dans un produit tel que h(h-i)(h- a> (A — 3 ), etc., la partie (A — i ) (A — 2 ) (A — 3), etc. , est composée de n facteur , son développement d’après la théorie des équations sera de la forme A" + Ah"~ l + Bh n ~ *.... -f- Mh -)- N, et que le terme 2V.se composera du produit des secondes parties — i, — 2 , — 3 , etc. , •des binômes A — i, A — 2 , A — 3, etc. ; or puisque A (A — i)(A — 2 ) (A — 3), etc. =h(h n -\^Ah n ~ , ...-\- MA-f-iV) , il est bien évident que le terme qui contient la première puissance de A dans ce produit sera 2VA ou d’après ce qui précède sera (— 1 X — 2 X — 3, etc.) A, d’où l’on peut conclure que pour trouver dans le développement îg, les termes affectésde la première puissanœde A,dansles termes compliqués de ce développement , cest-à-dire , à partir du troisième , on formera ainsi les différens coefficiens de A: le coefficient de A se composera du produit des nombres
soustraits de A par ^ dans le troisième terme , ou par ■ * ^ ■ dans le quatrième , et ainsi de suite.
Il suit de là que •
a 4 := 1 + ( A — ~ + y~“ etc * ) A -f- termes en A* , en A 3 , etc.
Représentons (A — -f- y > etc. ) par A, nous aurons
a, h = 1 -f- Ah -J- tenues en A* , en h 3 , etc. ; substituant cette valeur dans l’équationj-' = a x a A } cette équation deviendra
jr' = a x -j- Aa*h -|- termes en A 1 , en A 3 , etc.
diîtéhentiajkJn des quantités thasscendastes. s , Si nous retranchons l’équation primitive r = a* il r estera j' —y — Aa x h -f termes 'en h* , en h 3 , etc. ,
passant a la J »“»ite ^=^û^etparconséquenteninetUnt la valeur Aa 1 . . . ( 20 ).
La constante A dépend de a -, car si dans l’équation
on met pour b sa valeur a — ion trouvera
+ 3 etc &»)•
3 7- Pour déterminer la valeur de la constante A cherchons, par le théorème de Maclaurin , le développement de a x , nous avons donc
dr
dx
__ Ad.a x
dx*
dx
-Aa*ix
Faisons t — o, nous trouverons y) =a°= i, ~ A ,
dT* ~ ’ (iï£) ~ ^ J > etc - Substituant ces valeurs dans
l’équation (i8j, nous trouverons
a + +rsr + etc '>
faisons x — ~ , cette équation deviendra
a A~iJ t . l + + 1 + etc . .
nommons e le second membre de cette équation, elle s«
change an a = e } d’oü l’on tire a —
2» CALCUL DUTÉRF.NTTJL.
prenant les logarithmes, on a log a = log e-J — A Iog e ; donc
log e '
Le nombre e dont la valeur est donnée par l’équation
+ etc. , est la base que
r . a ' i . a . 3 r Néper choisit jx>ur calculer ses tables de logarithmes.
Comme la série i -f- 1 + -f- etc. , est assez couver-
gente, on peut se borner à prendre les dix premiers termes do cette suite , et alors on trouve que e vaut environ 2,7 182818. Si nous représentons par La le logarithme de a dans le système népérien , nous aurons donc « = (2,718^818)^ ou pliissimpleruenta=:e ia ; donc log a = log e et log a = La log ej d’où nous tirerons -J' * j — La, ce qui réduit l’équation (20) à A=, La, et par conséquent l’équation (20) donne du* — a* La ( 23 )
Des différentielles logarithmiques.
3 S. Soit .r, le log de y , -dans le système dont' la base est a , onay=:«* donc (art. 37) dyz=.Aa x dx, d’où l’on tire
dr
dr
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]..ge
dy )np ‘e a x iog a 9
et comme a * —y, et que x = log y, l’équation , prête-dente devient
j 1 <lr e
d. log jr = — . .
Dans le cas oii l’on prend les logarithmes dans le système népérien ==.^f = ‘ , donc alors d. log^= y-
