Soit/ = ÿ x + h,- on a d«hc y = y/* ~ x7. Donc

ir"

dr 1

4 y JC*’

dTî*= 7 - T ■

substituant dans la formule de Taylor , on a

fc*

/rf > etc.

5y. Soity' == sin(x -|- h), d’oùil suit quej-=sin x ; on. peut donc former ainsi les coefficiens différentiels successifs '

dy d’r . d 3 r d*y

E* cosx^p:— smi^s- cosx, ^- = anj,

gyr = cos x, etc. ; ^

substituant dans la formule de Taylor , on trouve

sin (x -j-« ) = sin x -f* cos x — — sm x — — cos x yy

+ sm * 714 + cos * ^sT’ etc >

faisant x = o, alors sin x = o , et cos x= i , et ce développement se réduit à

un fc = n H elc -

CALCUL DKTlfREWTIEL.

Si l’on jjrenait^-' = cos (x -f- h), on trouverait en ope-

l rànt comme dans l’exemple precedent, que

cos h — i i — 7 — etc.

58. Cherchons encore le développement de log {x + A;, • nous avons

. J = log (x +,/i ), donc jr r = log x,

d r = d. log x = — , donc^=i ; - .

on obtiendra ensuite par des différentiations successives ,

<ly

l t iy

- > etc.j

substituant ces valeurs dans la formule de Taylor nous trouvons

log (-x -f \ ) = log x + j etc.

5g. On pourrait facilement, au moyen de cette formule, trouver la différentielle d’un logarithme , si cette formule n’eût pas été trouvée par la différentiation , mais par un procédé algébrique ) en effet, celte fbrmule donne * log (*•»•*). — log* __ I A , etc .

h x xx % ' ' J

passant

limite , on a . -

<t log * i

ou

<1 log X — — x .

Connaissant la différentielle d’un logarithme il serait aisé de trouver celle de et* ; car en faisant y = a* et en prenant les logarithmes dans le système népérien , ou a '

Ly — La* ou Ly = x La , 1