ÉQUATION DU PLAN TANGENT

De î équation du plan tangent à une surface courbe, et de celle de la normale à cette surface . f

74. Soient/ (œ, y‘, z) z= o l’éq nation d’une surface courbe, et Ax 4- By 4- Cz 4- D = o celle d’un plan. Si le point de tangence 8 - M a pour coordonnée x' , y', z', ces coordonnées devront satisfaire 11 l’équation du plan , et l’on aura par conséquent

A x' 4- B y' 4- Cz' 4- D = o.

Eliminant D entre cette équation et la précédente , on trouvera pour l’équation dn plan assnjéti à passer par le point x' , y , z',

Menons par le point de tangence A , y', z' nn plan parallèle an plan des x , 2 ; ce plan conpera la surface suivant une courbe MC, fig. 8 , et le plan tangent suivant une droite ML j celte droite FIG. 8. ML devra être tangente à la conrbe MC, autrement le plan tangent couperait la surface courbe.

L’éqnation de la droite M L pent se déduire de l’éqnation (36) ; car cette droite ML étant l’intersection dn plan tangent par un plan parallèle au plan des x, z , a dans tous set points des’valcurs égales pour y $ et comme le point M est sur cette droite, on a donc y — y 1 ou y— y — o. Ce qui réduit l’équation (36) à A (x x'j 4* C (z— z*) — o.

Cette équation exprimera donc la relation qui existe entre les coordonnées z et x d’un point quelconque pris sur la droite ML , et par conséquent sera l’éqnation de cette droite. On peut l'écrire ainsi :

D’une antre part l’équation de la courbe MC s’obtiendra de même en regardant^ comme constant dans l’équation de la surface conrbe f(z,y,x) — o.

Si 1’ on veut exprimer maintenant la condition que la droite ML soit tangente à la courbe MC, il faut doue (art. 70) que le coefficient

CALCUL DIFFERENTIEL.

de'

de (*—*') de l’équation (37) eoil égal à la valear de g-, tirée de de l'équation de la courbé MC.

Or , l’équation de cette courbe étant celle de la surface dans laquelle on ferait^ constant, il suffit de différencier l’équation de cette

surface, et d’en tirerai car, d’après (l’art. 5a ), la notation

suppose qu'on a regardé^ - comme constant dans la différentiation.

Il suit de Ut qu'en accentuant *' et x’ après avoir opéré, on a pour la condition que ML soit tangente i MC

~ V ~ Ê' ou plu,ôt A = ~ c tp- • ■ (38J -

Si l'on mène ensuite par le point M un plan parallèle au plan des z, y , ce plan coupera la surface suivant une courbe MD et le plan tangent suivant une droite MJV.

On démontrerait comme précédemment qne celte droite MN doit être tangente à la courbe d'intersection MD , et que pour tous les points de cette droite MN les abscisses étant égales, on doit avoir x — x' — o , ce qui réduit l’équation (36) k

D’où l’on tirera * *

Celte équation étant celle de la droite M1V , on exprimer» la condition que cette droite est tangente k la conrhe MD , en égalant le coefficient de jr —r y' au coefficient différentiel

— tiré de l’équation de la surface , et l’on aura

et par conséquent

Si l’on su bâti tac dans l’équation (36) les valeurs de A et de B données par les équations (38) et (3g) , on trouvera