ÉQUATION DU PLAN TASSENT
d’où l’on tire pour l'équation du plan tangent , an point*', j', z ,
*-*' jp(r- r 1 ) • • • ( 4 °)-
75. Cherchons, par exemple, l'équation d’un plan tangent à la
•phère. Les coordonnées du centre e'tant a , 6 , c, la sphère aura pour équation - .
(*— ay - 4 - (j—by (z—cY =zr % ;
on trouve en différenciant
(x — a) dx -+- (y — b) dy ■+■ (z — c) dz — o ,
d’où l’on déduit d’après la notation convenue ( art. 5 a)
ds a — * de b — y
dx z — -c ' dy* z — o '
Donc l’éqnation du plan tangent à la sphère au point dont les coordonnées sont x', y', z', sera
* — * = 7=7 (T;c) + S tr-aO-
76. Si ce plan passait à l’extrémité du diamètre vertical, on aurait
Ces valeurs réduiraient les équations’du plan tangent à* = c + r, ce qni est l'équation d’un plan parallèle au £tan des x , y.
77. Les équations de la unrmalc au point x', y’, z' peuvent se déduire facilement de l’éqnation du plan tangent. En effet , par la géométrie analytique ( voyez ma Théorie des Courbes du second ordre , pag. 378) , on sait que si l’on a les équations
x = az- 1- « 1 ,
y = bz -+- S I" ^ 0 •
la première étant celle d’un plan , et les deux autres celles d’nne ligne droite , les conditions nécessaires pour que cette droite soit perpendiculaire au plan sont, qu’on ait
A = aC , B — bC.
Si l’on compare l’équation (4o) du plan tangent à l’équation (4t) , on tronvera , en égalant entr’enxlcscoclBcicns de x , dc y et de z , a dz» dz'
A ~ dxY ,B ~~dy ,,C — X '
dooc
CALCUL DtTTÉRENTlEL.
cU' , dx’
a =-æ b = -ty'’
substituant ces valeurs dans les équations (4a) , on obtient dx' dx'
Le point *',y, *' devant satisfaire à ces équations puisqu’elles appartiennent à un point de la droite, on a encore
* dx-
>»r =— âp* -+-«>
éliminant « et C entre ces qaatre dernières équations , on trouvera pour les équations de la normale , au point x * »
dz' . i Q 2 f.
dx'
Des Fonctions qui , pour une valeur de la variable , deviennent ° o .
;8. Lorsqu’une fraction telle que devient 2 en y substituant
une valenr dex que je représenterai par a , c'est nn indice qne les deux termes de cette fraction ont x-^a , ou , en général, (x a)™ pour facteur commun ; si l’on pouvait faire évanouir ce facteur commun , on aurait la vraie valeur de la fraction.
Supposons donc que x — a soit m fois facteur dans Fx , et n fois facteur dans (sauf, si le cas l’exige, à supposer que m et n soient égaux h l’unité ou à zéro ) nous pourrons écrire
Fx=p[x.—dr, fx=Ç(x— a)".
Par la différentiation , noos trouverons
• d .Fx dx
mP (x — a)™ -
Remarquons que cette valeur
de
A.Fx
dx
je compose de deux te-i-
