DE LA TRACTION
mes, dont l'un contient une paissance de x—a, moindre d’une unité' que celle qui entre dans la fonction. Par la même raison, en
d.Fx
prenant le coefficient différentiel de — , on trouvera un terme
affecte de un' antre de ( x — *, et un troisième
de ( x — a ) m a j ce dernier terme sera m ( m — i ) JP (x -*• a)' n ~**. En continuant ainsi , on verra que chaque nouvelle différentiation reproduit des lermS affectés des mêmes puissances de (x — a ) , que celles qui étaient renfermées dans la fonction différenciée , pins un terme dans lequel la puissance de x — a est diminuée d’une unitéainsi , en prenant les coefKciens différentiels successifs , le terme qui contient la moins haute puissance de x — a sera
& la première différentiation. . . mP (x — a ) ,
à la seconde- . ... i, ....-* m ( wt — i ) P ( x — a )«— » , à la troisième . m (m — i)(m— a) P(x - —
à la /i e . . -, . m (m — i) \ . P (x — *)»*—»,
De sorte que le coefficient différentiel de l’ordre r de Fx , sera de cette forme , ' •* ' -,
d r Fx ♦
— == X (ar— a) m X ( x — a ) X* ( x — a) m ~*
rh X n ( x — a y* -3 ...?... -4-m(m — i) (m — 5). ; . P (x — — r . Ce que nous disons de Fx pouvant s'appliquer à , nous trouverons pour la différentielle de l’ordre r de la fraction proposée, un résultat dé celte forme , N x '
d r .Fx . -*• ,< *
da: # ~X{x — a ) m -+- X'(x — a) m *ï.
* rK.^jr —
a -rn\m — *)-*-{* — //^N
'g. Cela pose , considérons trois cas ,
Si m ■=, n , et que le nombre r de différentiations effectuées soit égal à m , les binômes (x — n)" - r et (x.— a)"—’ se réduisent chacun à — a)°, c’est-h-dire, h l'unité; h l’égard des outres binômes
(x— <i) m , (x— a)™— 1 , cw.,'(x— a) n *(x — a)*— ' , etc., ils sont nuis dans l'hypothèse de x = a : ainsi, tous les termes, hl>rs
5o TAl-CKL DIFTÉntNT^EI..
le dernier, du rtunuTftlcur et le dernier du dcnnruiuatcu» , sc>a- Jouissent, cl l’cquaiion (43) se réduit h <V U . Fx
Dans Je seeond cas qui est celui où l'on a m>n , si le nombre r de différentiations effectuées est égal in, le iflhome (a- — a." se réduit Wuuiléparcc tfheson exposant n—r est nul. Les exposons n — i , n— a, etc., m—l, m — a, etc., des antres binômes, étant plu* grands que n — r surpassent l'unité; par cortséqnent , ces binômes se réduisent chacun h zéro lorsqu'on fait r a . t0 „ s {es termes s’évanouissent donc, dans cette liypotlieae, b ors celui où entre (x — a'/—' , eU’cquation (43) s? réduit à
&"Xx
"tl.r"~ d".y.»
' n (n — IJ... Q (x — a)"
dx"
Enfin , dans le cas où l'on a m<n , le nombre r de différentiations exécutées étimt pris égal à ni, tous les termes s’évanouissent , bots le terme m( m — 3) • * - l* (x-— a t ° , et il reste
th”' d"‘.^x"
8o. De ce qui . précède , il résulté cette règle: lorsqu on veut
I Fx O
déterminer It vraie valeur dune fraction qui devient -
une valeur donnée h la variable , on différenciera , séparément , les dpux termes de cette fraction , et ensuite on examinera li les i
résultats - et se réduisent aussi à zéro par la valeur hyjiodx dx , ■'
thétique de la variable ; si cela est , on prendra les coefficicns diffe-
rentiels des expressions --j — et , et r on verra si dans la meme
hypothèse de la variable , tfcs coejficiens différentiels se réduisent èhiicun à zéro ; en continuant ainsi cette vérification , si l’on trouve
jby Googl
î)t Là FRACTION , £. 5t
après un certain nombre de différentiations que les deux termes de la
fraction ne s'évanouissent pas par la valeur donnée a la variable ,
J Fx
cette dernière fraction sera la vraie valeur de — : mais si te
ox 7
numérateur seulement devient o par la valeur de x , l'expression
Fx
— sera nulle ; enfin , si ce n’est que le dénominateur qui s'éva-
, . ' Fx
nOttil pur la valeur de x , C expression — sera infinie.
fil. Prenons pour exemple la fraction >
Fx x 3 — & 3
cette fraction devenant - , lorsque x = l , si noos voulons en
avoir la vraie valeur , nous différencierons scs deux termes et nous
obtiendrons — j et comme les deux termes d^cette fraction ne deviennent pas nnls dans l'hypothèse de x = b , la vraie valeur de lu fraction propose'c lorsque x = b , est donc
